Ing Mathematik: Lineare Vektorfunktionen

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Lineare Vektorfunktion

Eine (Vektor)funktion $f:\ \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ heißt linear, wenn es Zahlen $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ gibt, sodass $f(\mathbf {x} )=a_{1}\mathbf {x} _{1}+a_{2}\mathbf {x} _{2}+\ldots +a_{n}\mathbf {x} _{n}$ mit $\forall \mathbf {x} _{i}\in \mathbb {R} ^{n}$ gilt.

Eine (Vektor)funktion $f:\ \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ Funktion ist genau dann linear, wenn $f(\lambda \mathbf {x} +\mu \mathbf {y} )=\lambda f(\mathbf {x} )+\mu f(\mathbf {y} )$ mit $\lambda ,\mu \in \mathbb {R} ;\;\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}$ gilt.

Wie bereits bekannt, kann jeder beliebige Vektor als Linearkombination

$\mathbf {x} =x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +x_{n}\mathbf {e} _{n}$ dargestellt werden.

Somit ist

$\mathbf {y} =f(\mathbf {x} )=x_{1}f(\mathbf {e} _{1})+x_{2}f(\mathbf {e} _{2})+\ldots +x_{n}f(\mathbf {e} _{n})$.

Für die Bilder der Einheitsvektoren gilt

$f(\mathbf {e} _{j})=a_{1j}f(\mathbf {e} _{1})+a_{2j}f(\mathbf {e} _{2})+\ldots +a_{nj}f(\mathbf {e} _{n})$.

Und somit gilt weiter

$\mathbf {y} =\left(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}\right)\mathbf {e} _{1}+\ldots +\left(a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}\right)\mathbf {e} _{n}$.

Natürlich kann man dies auch übersichtlicher in Matrixschreibweise ausdrücken

$\mathbf {y} =A\mathbf {x} ;\quad A=(a_{ij})$.

A ist dabei eine quadratische Matrix.

Eigenwerte

Gegeben sei die lineare Vektorfunktion $\mathbf {y} =A\mathbf {x}$. Die Frage nach der Parallelität der beiden Vektoren x und y führt zum speziellen Eigenwertproblem.

x ist dann parallel zu y, wenn $\mathbf {y} =\lambda \mathbf {x} =\lambda E\mathbf {x} ;\ \lambda \in \mathbb {R}$ gilt.

$\left(A-\lambda E\right)\mathbf {x} =0$

Dies ist ein homogenes Gleichungssystem mit der $(n\times n)$-Matrix $A-\lambda E$. Dieses Gleichungssystem hat nur dann nichttriviale Lösungen $\mathbf {x} \neq \mathbf {o}$, wenn ${\rm {{rg}(A-\lambda E)<n}}$. Es muss also gelten

$P(\lambda )=\det \left(A-\lambda E\right)=0$

Diese Gleichung wird auch als charakteristische Gleichung der Matrix A bezeichnet.

$P(\lambda )=\det \left(A-\lambda E\right)=(-1)^{n}\lambda ^{n}+b_{n-1}\lambda ^{n-1}+\ldots +b_{0}$ heißt charakteristisches Polynom der Matrix A.

Die Wurzeln $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ der charakteristischen Gleichung nennt man die Eigenwerte der Matrix A.

Die Lösungen $\mathbf {x} _{i}\neq \mathbf {o}$ des linearen Gleichungssystems $\left(A-\lambda E\right)\mathbf {x} =0$ heißen Eigenvektoren der Matrix A.

Beispiel: $A={\begin{pmatrix}2&0\\4&3\end{pmatrix}}$

$P(\lambda )=\det {\begin{pmatrix}2-\lambda &0\\4&3-\lambda \end{pmatrix}}=(2-\lambda )(3-\lambda )=\lambda ^{2}-5\lambda +6=0$

$\lambda _{1,2}={\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {5}{2}}\right)^{2}-6}}$

$\lambda _{1}=3:$

${\begin{pmatrix}2-\lambda _{1}&0\\4&3-\lambda _{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

eine mögliche Lösung: $\mathbf {x} _{(1)}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

Übung 1: Berechnen sie einen Eigenvektor $\mathbf {x} _{(2)}$ für den zweiten Eigenwert $\lambda _{2}=2$ des obigen Beispiels.

Übung 2: Berechnen sie Eigenwerte und Eigenvektoren für die Matrix $A={\begin{pmatrix}4&0&3\\1&1&4\\2&-1&0\end{pmatrix}}$ .

Reelle, symmetrische Matrix A

• Ist die $n\times n$-Matrix $A=(a_{ij})$ symmetrisch $(A=A^{T})$ und reell, so sind auch alle n Eigenwerte dieser Matrix reell.
• Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren einer reellen, symmetrischen Matrix sind orthogonal: $\mathbf {x} _{(i)}\mathbf {x} _{(j)}=0$.
• Hauptachsentransformation: Die Matrix A kann mittels einer orthogonalen Matrix T auf Diagonalgestalt gebracht werden. Die Spalten i der orthogonalen Matrix T sind die auf Eins normierten Eigenvektoren $\mathbf {x} _{(i)}$.
  $T^{-1}AT=T^{T}AT={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&&0\\&\ddots \\0&&\lambda _{n}\end{pmatrix}}$

Übung: Gegeben ist die Matrix $A={\begin{pmatrix}1&0&3\\0&2&-1\\3&-1&3\end{pmatrix}}$ . Berechnen sie die Eigenwerte, Eigenvektoren und führen sie die Hauptachsentransformation durch (Hinweis: Gram-Schmidtsches-Orthogonalisierungsverfahren).

Bewegungen

Eine Bewegung (in der Ebene oder im Raum) ist definiert durch die Gleichung

$\mathbf {x} ^{'}=A\mathbf {x} +\mathbf {t}$

Die Matrix A sei dabei orthogonal. Dies bedeutet, dass $\det A=\pm 1$ und $AA^{T}\ =E$.

• $\det A=\ 1$: orientierungstreue Bewegung (Schraubung = Drehung + Translation)
• $\det A=\ -1$: orientierungsumkehrende Bewegung (Umlegung)
• $A\ =\ E$: Translation
• $\det A=1\ \wedge \ \mathbf {t} =\mathbf {o}$: Drehung um eine durch den Ursprung verlaufende Gerade

Orthogonale Transformationen in der Ebene

$x_{1}'=\ a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+t_{1}$

$x_{2}'=\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+t_{2}$

Wegen der Orthogonalität von A gilt:

$a_{11}^{2}+a_{21}^{2}=1$

$a_{12}^{2}+a_{22}^{2}=1$

$a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}=\ 0$

Diese Gleichungen werden durch folgende trigonometrischen Gleichungen erfüllt:

$\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi =1$

$(-\sin \varphi )^{2}+\cos ^{2}\varphi =1$

$-\cos \varphi \sin \varphi +\cos \varphi \sin \varphi =0$

Das bedeutet, daß die Matrix

$A={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \\\end{pmatrix}}$

eine Drehung der Ebene mit dem Winkel $\varphi$um einen festen Punkt bewirkt.

Drehung des Koordinatensystems um den Winkel $\varphi$ bei fest gehaltenem Vektor:

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\end{pmatrix}}$

Drehung des Vektors um den Winkel $\varphi$ bei fest gehaltenem Koordinatensystem:

${\begin{pmatrix}x_{1}'\\x_{2}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}$

Flächen zweiter Ordnung

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