Ing Mathematik: Lineare Vektorfunktionen

Aus Wikibooks

Wechseln zu: Navigation, Suche

Zurück zu Lineare Gleichungssysteme |

Hoch zu Gesamtinhaltsverzeichnis |

Vor zu Tensoren

Inhaltsverzeichnis

1 Lineare Vektorfunktion
2 Eigenwerte
- 2.1 Reelle, symmetrische Matrix A
3 Bewegungen
- 3.1 Orthogonale Transformationen in der Ebene
4 Kurven zweiter Ordnung
5 Flächen zweiter Ordnung

[Bearbeiten] Lineare Vektorfunktion

Eine (Vektor)funktion $f:\ \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ heißt linear, wenn es Zahlen $a_1,a_2,\ldots,a_n \in \mathbb{R}$ gibt, sodass $f(\mathbf{x})=a_1\mathbf{x}_1+a_2\mathbf{x}_2+\ldots + a_n\mathbf{x}_n$ mit $\forall \mathbf{x}_i\in \mathbb{R}^n$ gilt.

Eine (Vektor)funktion $f:\ \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}$ Funktion ist genau dann linear, wenn $f(\lambda \mathbf{x} + \mu \mathbf{y}) = \lambda f(\mathbf{x}) + \mu f(\mathbf{y})$ mit $\lambda , \mu \in \mathbb{R}; \; \mathbf{x} , \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$ gilt.

Wie bereits bekannt, kann jeder beliebige Vektor als Linearkombination

$\mathbf{x} = x_1\mathbf{e}_1 + x_2\mathbf{e}_2 + \ldots + x_n\mathbf{e}_n$ dargestellt werden.

Somit ist

$\mathbf{y} = f(\mathbf{x}) = x_1 f(\mathbf{e}_1) + x_2f(\mathbf{e}_2) + \ldots + x_nf(\mathbf{e}_n)$ .

Für die Bilder der Einheitsvektoren gilt

$f(\mathbf{e}_j) = a_{1j}f(\mathbf{e}_1) + a_{2j}f(\mathbf{e}_2) + \ldots + a_{nj}f(\mathbf{e}_n)$ .

Und somit gilt weiter

$\mathbf{y} = \left( a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n \right) \mathbf{e}_1 + \ldots + \left( a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n \right) \mathbf{e}_n$ .

Natürlich kann man dies auch übersichtlicher in Matrixschreibweise ausdrücken

$\mathbf{y} = A\mathbf{x} ;\quad A=(a_{ij})$ .

A ist dabei eine quadratische Matrix.

[Bearbeiten] Eigenwerte

Gegeben sei die lineare Vekorfunktion $\mathbf{y}=A\mathbf{x}$ . Die Frage nach der Parallelität der beiden Vektoren x und y führt zum speziellen Eigenwertproblem.

x ist dann parallel zu y, wenn $\mathbf{y}=\lambda\mathbf{x}=\lambda E\mathbf{x};\ \lambda\in \mathbb{R}$ gilt.

$\left(A-\lambda E\right)\mathbf{{x}}=0$

Dies ist ein homogenes Gleichungssystem mit der $(n\times n)$ -Matrix $A - λ E$ . Dieses Gleichungssystem hat nur dann nichttriviale Lösungen $\mathbf{x}\ne\mathbf{o}$ , wenn $rg(A - λE) < n$ . Es muss also gelten

$P(\lambda)=\det \left(A-\lambda E\right) = 0$

Diese Gleichung wird auch als charakteristische Gleichung der Matrix A bezeichnet.

$P(\lambda)=\det \left(A-\lambda E\right)=(-1)^{n}\lambda^{n}+b_{n-1}\lambda^{n-1}+\ldots+b_{0}$ heißt charakteristisches Polynom der Matrix A.

Die Wurzeln $\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}$ der charakteristischen Gleichung nennt man die Eigenwerte der Matrix A.

Die Lösungen $\mathbf{x}_i\ne \mathbf{o}$ des linearen Gleichungssystems $\left(A-\lambda E\right)\mathbf{{x}}=0$ heißen Eigenvektoren der Matrix A.

Beispiel: $A= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$

$P(\lambda)=\det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0\\ 4 & 3-\lambda \end{pmatrix} =(2-\lambda)(3-\lambda)=\lambda^{2}-5\lambda+6=0$

$\lambda_{1,2}=\frac{5}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^{2}-6}$

$λ 1 = 3:$

$\begin{pmatrix} 2-\lambda_1 & 0\\ 4 & 3-\lambda_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}$

eine mögliche Lösung: $\mathbf{x}_{(1)}= \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix}$

Übung 1: Berechnen sie einen Eigenvektor $\mathbf{x}_{(2)}$ für den zweiten Eigenwert $λ 2 = 2$ des obigen Beispiels.

Übung 2: Berechnen sie Eigenwerte und Eigenvektoren für die Matrix $A= \begin{pmatrix} 4 & 0 & 3\\ 1 & 1 & 4\\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}$ .

[Bearbeiten] Reelle, symmetrische Matrix A

Ist die $n\times n$ -Matrix $A = (a i j)$ symmetrisch $(A = A T)$ und reell, so sind auch alle n Eigenwerte dieser Matrix reell.
Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren einer reellen, symmetrischen Matrix sind orthogonal: $\mathbf{x}_{(i)}\mathbf{x}_{(j)}=0$ .
Hauptachsentransformation: Die Matrix A kann mittels einer orthogonalen Matrix T auf Diagonalgestalt gebracht werden. Die Spalten i der orthogonalen Matrix T sind die auf Eins normierten Eigenvektoren $\mathbf{x}_{(i)}$ .
$T^{-1}AT=T^{T}AT=\begin{pmatrix}\lambda_{1} & & 0\\ & \ddots\\0 & & \lambda_{n}\end{pmatrix}$

Übung: Gegeben ist die Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ 0 & 2 & -1\\ 3 & -1 & 3 \end{pmatrix}$ . Berechnen sie die Eigenwerte, Eigenvektoren und führen sie die Hauptachsentransformation durch (Hinweis: Gram-Schmidtsches-Orthogonalisierungsverfahren).

[Bearbeiten] Bewegungen

Eine Bewegung (in der Ebene oder im Raum) ist definiert durch die Gleichung

$\mathbf{x}^' = A\mathbf{x} + \mathbf{t}$

Die Matrix A sei dabei orthogonal. Dies bedeutet, dass $\det A=\pm 1$ und $AA^T\ =E$ .

$\det A=\ 1$ : orientierungstreue Bewegung (Schraubung = Drehung + Translation)
$\det A =\ -1$ : orientierungsumkehrende Bewegung (Umlegung)
$A\ =\ E$ : Translation
$\det A=1\ \wedge \ \mathbf{t}=\mathbf{o}$ : Drehung um eine durch den Ursprung verlaufende Gerade

[Bearbeiten] Orthogonale Transformationen in der Ebene

$x_1'=\ a_{11}x_1+a_{12}x_2+t_1$

$x_2'=\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+t_2$

Wegen der Orthogonalität von A gilt:

$a_{11}^2+a_{21}^2=1$

$a_{12}^2+a_{22}^2=1$

$a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}=\ 0$

Diese Gleichungen werden durch folgende trigonometrischen Gleichungen erfüllt:

$\cos^2\varphi + \sin^2\varphi=1$

$(-\sin\varphi)^2 + \cos^2\varphi=1$

$-\cos\varphi \sin\varphi + \cos\varphi \sin \varphi = 0$

Das bedeutet, daß die Matrix

$A= \begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin\varphi \\ \sin \varphi & \cos\varphi \\ \end{pmatrix}$

eine Drehung der Ebene mit dem Winkel $\varphi$ um einen festen Punkt bewirkt.

Drehung des Koordinatensystems um den Winkel $\varphi$ bei fest gehaltenem Vektor:

$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin\varphi \\ \sin \varphi & \cos\varphi \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix}$

Drehung des Vektors um den Winkel $\varphi$ bei fest gehaltenem Koordinatensystem:

$\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin\varphi \\ \sin \varphi & \cos\varphi \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$