Ing Mathematik: Lineare Gleichungssysteme

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Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Lineares Gleichungssystem

Ein Gleichungssystem der Form

\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{matrix}


nennt man lineares Gleichungssystem, wobei a_{ij}\in \mathbb{R} die Koeffizienten heißen und xj die Unbekannten sind.


Man kann dies auch als

A\mathbf{x}=\mathbf{b}


oder

\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j = b_i, \quad i=1\; {\rm bis}\; m

anschreiben.


Gilt A\mathbf{x}=\mathbf{o}, so nennt man das Gleichungssystem homogen (\mathbf{b} = \mathbf{o}), andernfalls inhomogen (\mathbf{b} \ne \mathbf{o}).

A ist die Koeffizientenmatrix. Als erweiterte Koeffizientenmatrix bezeichnet man die Matrix (A\ \vdots \ \mathbf{b})


Beispiel:

\begin{matrix} 5x_1 -2x_2 + 7x_3 = 6 \\ -3x_1 + 7x_2 + 8x_n = 0 \\ 4x_1 + 4x_2 + 4x_n = 1 \end{matrix}


Koeffizientenmatrix:

\begin{pmatrix} 5 & -2 & 7 \\ -3 & 7 & 8 \\ 4 & 4 & 4 \end{pmatrix}


Erweiterte Koeffizientenmatrix:

\begin{pmatrix} 5 & -2 & 7 & 6 \\ -3 & 7 & 8 & 0\\ 4 & 4 & 4 & 1 \end{pmatrix}

[Bearbeiten] Bestimmtheit eines linearen Gleichungssystems

  • m>n: überbestimmtes Gleichungssystem
  • m=n: quadratisches Gleichungssystem
  • m<n: unterbestimmtes Gleichungssystem


[Bearbeiten] Zeilennormalform

Eine (m\times n)-Matrix ist in Zeilennormalform, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • Unterhalb der Diagonalen dürfen nur Nullen stehen.
  • Das erste Zeilenelement ungleich Null ist Eins.
  • Ist aij das erste Zeilenelement ungleich Null (d.h eine Eins), so gilt dass der Spaltenvektor dieser Spalte j ein Einheitsvektor ist.


Beispiel für eine Matrix in Zeilennormalform:

A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}


Jede Matrix läßt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilennormalform bringen.

Elementare Zeilenumformungen sind:

  • Zeilenvertauschung
  • Multiplikation einer Zeile mit einem Koeffizienten k\ne0
  • Addition des k-fachen einer anderen Zeile.


Der Rang einer Matrix A ist gleich der Anzahl der nicht verschwindenden Zeilen in der Zeilennormalform von A.


[Bearbeiten] Gauß-Jordan-Algorithmus

Wikipedia: Gauß-Jordan-Algorithmus


[Bearbeiten] Nachtrag: Inverse Matrizen

Beispiel: Gegeben sei die Matrix A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} . Gesucht ist die inverse Matrix A − 1


\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \vdots & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \vdots & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

z_3:\ z_3-z_1

\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \vdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & \vdots & -1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

z_3:\ z_3+z_2

\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \vdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \vdots & -1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}

z_3:\ z_3/2,\quad z_2:\ z_2/2

\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & \vdots & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ \end{pmatrix}

z_2:\ z_2-z_3/2

\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 1/4 & 1/4 & -1/4 \\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ \end{pmatrix}

z_1:\ z_1-3z_2

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 1/4 & -3/4 & 3/4 \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 1/4 & 1/4 & -1/4 \\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ \end{pmatrix}


\Rightarrow

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/4 & -3/4 & 3/4 \\ 1/4 & 1/4 & -1/4 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ \end{pmatrix}


Probe: AA − 1 = E


[Bearbeiten] Lösbarkeitskriterien

Ein lineares Gleichungssystem A\mathbf{x} = \mathbf{b} ist

  • nicht lösbar, wenn {\rm Rg}A < Rg(A,\mathbf{b})
  • lösbar, wenn {\rm Rg}A = Rg(A,\mathbf{b})


Ist das Gleichungssystem lösbar, so besitzt das Gleichungssystem

  • genau eine Lösung, wenn {\rm Rg }A = {\rm Rg}(A,\mathbf{b}) = n.
  • eine (n-k)-parametrige Lösungschar, wenn {\rm Rg }A = {\rm Rg}(A,\mathbf{b}) = k.


Daraus folgt auch:

  • Nur quadratische oder überbestimmte lineare Gleichungssysteme können eindeutig lösbar sein.
  • Lineare homogene Gleichungssysteme sind immer lösbar, da x=o immer eine mögliche Lösung ist.

[Bearbeiten] Cramersche Regel

Wikipedia: Cramersche Regel


[Bearbeiten] Übungen

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