Ing Mathematik: Lineare Gleichungssysteme

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Lineares Gleichungssystem

Ein Gleichungssystem der Form

$\begin{matrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \ldots + a_{mn}x_n = b_m \end{matrix}$

nennt man lineares Gleichungssystem, wobei $a_{ij}\in \mathbb{R}$ die Koeffizienten heißen und $x_j$ die Unbekannten sind.

Man kann dies auch als

$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

oder

$\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j = b_i, \quad i=1\; {\rm bis}\; m$

anschreiben.

Gilt $A\mathbf{x}=\mathbf{o}$, so nennt man das Gleichungssystem homogen $(\mathbf{b} = \mathbf{o})$, andernfalls inhomogen $(\mathbf{b} \ne \mathbf{o})$.

A ist die Koeffizientenmatrix. Als erweiterte Koeffizientenmatrix bezeichnet man die Matrix $(A\ \vdots \ \mathbf{b})$

Beispiel:

$\begin{matrix} 5x_1 -2x_2 + 7x_3 = 6 \\ -3x_1 + 7x_2 + 8x_n = 0 \\ 4x_1 + 4x_2 + 4x_n = 1 \end{matrix}$

Koeffizientenmatrix:

$\begin{pmatrix} 5 & -2 & 7 \\ -3 & 7 & 8 \\ 4 & 4 & 4 \end{pmatrix}$

Erweiterte Koeffizientenmatrix:

$\begin{pmatrix} 5 & -2 & 7 & 6 \\ -3 & 7 & 8 & 0\\ 4 & 4 & 4 & 1 \end{pmatrix}$

Bestimmtheit eines linearen Gleichungssystems

• m>n: überbestimmtes Gleichungssystem
• m=n: quadratisches Gleichungssystem
• m<n: unterbestimmtes Gleichungssystem

Zeilennormalform

Eine $(m\times n)$-Matrix ist in Zeilennormalform, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

• Unterhalb der Diagonalen dürfen nur Nullen stehen.
• Das erste Zeilenelement ungleich Null ist Eins.
• Ist $a_{ij}$ das erste Zeilenelement ungleich Null (d.h eine Eins), so gilt dass der Spaltenvektor dieser Spalte j ein Einheitsvektor ist.

Beispiel für eine Matrix in Zeilennormalform:

$A= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Jede Matrix läßt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilennormalform bringen.

Elementare Zeilenumformungen sind:

• Zeilenvertauschung
• Multiplikation einer Zeile mit einem Koeffizienten $k\ne0$
• Addition des k-fachen einer anderen Zeile.

Der Rang einer Matrix A ist gleich der Anzahl der nicht verschwindenden Zeilen in der Zeilennormalform von A.

Gauß-Jordan-Algorithmus

Wikipedia: Gauß-Jordan-Algorithmus

Nachtrag: Inverse Matrizen

Beispiel: Gegeben sei die Matrix $A= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Gesucht ist die inverse Matrix $A^{-1}$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \vdots & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & \vdots & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

$z_3:\ z_3-z_1$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \vdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 & \vdots & -1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

$z_3:\ z_3+z_2$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & \vdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \vdots & -1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$

$z_3:\ z_3/2,\quad z_2:\ z_2/2$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 & \vdots & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ \end{pmatrix}$

$z_2:\ z_2-z_3/2$

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 1/4 & 1/4 & -1/4 \\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ \end{pmatrix}$

$z_1:\ z_1-3z_2$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 1/4 & -3/4 & 3/4 \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & 1/4 & 1/4 & -1/4 \\ 0 & 0 & 1 & \vdots & -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ \end{pmatrix}$

$\Rightarrow$

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1/4 & -3/4 & 3/4 \\ 1/4 & 1/4 & -1/4 \\ -1/2 & 1/2 & 1/2 \\ \end{pmatrix}$

Probe: $AA^{-1} = E$

Lösbarkeitskriterien

Ein lineares Gleichungssystem $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ ist

• nicht lösbar, wenn ${\rm Rg}A < Rg(A,\mathbf{b})$
• lösbar, wenn ${\rm Rg}A = Rg(A,\mathbf{b})$

Ist das Gleichungssystem lösbar, so besitzt das Gleichungssystem

• genau eine Lösung, wenn ${\rm Rg }A = {\rm Rg}(A,\mathbf{b}) = n$.
• eine (n-k)-parametrige Lösungschar, wenn ${\rm Rg }A = {\rm Rg}(A,\mathbf{b}) = k$.

Daraus folgt auch:

• Nur quadratische oder überbestimmte lineare Gleichungssysteme können eindeutig lösbar sein.
• Lineare homogene Gleichungssysteme sind immer lösbar, da x=o immer eine mögliche Lösung ist.

Cramersche Regel

Wikipedia: Cramersche Regel

Übungen

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