Ing Mathematik: Determinanten

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Inhaltsverzeichnis

1 Determinante
2 Unterdeterminante
3 Adjunkte
4 Berechnung von Determinanten
- 4.1 Regel von Sarrus
- 4.2 Laplacescher Entwicklungssatz
5 Einige Determinantensätze
6 Inverse Matrix
- 6.1 Regeln
- 6.2 Praktische Bestimmung der inversen Matrix
7 Orthogonale Matrizen
8 Nachtrag zu Vektorprodukt
9 Nachtrag zu Spatprodukt
10 Übungen

[Bearbeiten] Determinante

Jeder quadratischen $(n\times n)$ -Matrix A kann man eine Zahl zuordnen, die Determinate

${\rm det} A = |A| = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$

[Bearbeiten] Unterdeterminante

Streicht man aus einer Matrix A die i-te Zeile und die j-te Spalte, so ist dieser reduzierten Matrix $A i j$ die Unterdeterminate $det A i j$ zugeordnet.

Beispiel:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

${\rm det} A_{13} = \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix}$

[Bearbeiten] Adjunkte

Die Adjunkte $adj A i j$ ist die mit $\left(-1 \right)^{i+j}$ multiplizierte Unterdeterminante $det A i j$ .

${\rm adj}A_{ij} = \left(-1 \right)^{i+j}{\rm det} A_{ji}$

[Bearbeiten] Berechnung von Determinanten

Für $(1\times 1)$ -Matrizen gilt: $det A = a 11$

Für $(2\times 2)$ -Matrizen gilt: ${\rm det} A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$

[Bearbeiten] Regel von Sarrus

Zur Berechnung der Determinante einer $(3\times 3)$ -Matrix kann man sich der Regel von Sarrus bedienen:

Wikipedia: Regel von Sarrus

[Bearbeiten] Laplacescher Entwicklungssatz

Allgemein gilt für die Berechnung von Determinanten der Laplacesche Entwicklungssatz:

${\rm det}A = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}{\rm det}A_{ij}\qquad i={\rm konst.}$

${\rm det}A = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j}a_{ij}{\rm det}A_{ij}\qquad j={\rm konst.}$

Beispiel:

$A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 5 & 9 & 7 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}$

${\rm det}A = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 5 & 9 & 7 \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 9 & 7 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 5 & 7 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} +3 \begin{vmatrix} 5 & 9 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 2(9\cdot 2 - 7\cdot 3) -0 +3(5\cdot 3 + 9\cdot 1) = 66$

Übung: Berechnen sie möglichst vorteilhaft die Determinante der Matrix

$A= \begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 & 7\\ 5 & 0 & 9 & 0 \\ -1 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 9 & -2 & 0 \end{pmatrix}$

[Bearbeiten] Einige Determinantensätze

Eine Determinante bleibt ungeändert:
- Bei einer Spiegelung an der Hauptdiagonalen: ${\rm det}A =\; {\rm det} A^T$ .
- Wenn zu einer Zeile/Spalte ein Vielfaches einer anderen Zeile/Spalte addiert oder subtrahiert wird.

Eine Determinante wird Null:
- Wenn alle Elemente einer Zeile/Spalte Null sind.
- Wenn zwei Zeilenvektoren/Spaltenvektoren linear abhängig sind.

Eine Determinante ändert ihr Vorzeichen, wenn zwei Zeilen/Spalten vertauscht werden.

Multiplikation einer Derminante mit einer Zahl: ${\rm det}(kA) = k^n\; {\rm det}A$ .

Das Produkt zweier Determinanten ist wieder eine Determinante. ${\rm det}A\; {\rm det}B = {\rm det}(AB)$ .

[Bearbeiten] Inverse Matrix

$A - 1$ heißt inverse Matrix zu A. Es gilt $A A - 1 = E$ .

$A^{-1} = \left( \alpha_{ij}\right) \quad {\rm mit} \quad \alpha_{ij} = \frac{1}{{\rm det}A}(-1)^{i+j}{\rm det}A_{ji}$

Eine $(n\times n)$ -Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn sie regulär ist: ${\rm det}A\neq 0$ , dies ist äquivalent zu Rg(A)=n.

Eine Matrix A mit $det A = 0$ nennt man singulär.

Übung: Ist die Matrix $\begin{pmatrix} 2 & 5 & 3 & 7\\ 5 & 0 & 9 & 0 \\ -1 & 3 & 4 & 0 \\ 0 & 9 & -2 & 0 \end{pmatrix}$ invertierbar?

[Bearbeiten] Regeln

$\left( A^{-1}\right) ^{-1} = A$

$\left(AB \right)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

$\left(A^T \right)^{-1} = \left(A^{-1} \right)^T$

${\rm det}\left(A^{-1} \right) = \frac{1}{{\rm det}A}$

[Bearbeiten] Praktische Bestimmung der inversen Matrix

Gauß-Jordan-Algorithmus: siehe Lineare Gleichungssysteme

[Bearbeiten] Orthogonale Matrizen

Eine $(n\times n)$ -Matrix A heißt orthogonal, wenn gilt:

alle Zeilenvektoren seien Einheitsvektoren: $\| z_i\| =1\ ; \quad 1\le i\le n$

und

alle Zeilenvektoren stehen senkrecht aufeinander: $z_i\cdot z_j=0\ ; \quad i\neq j$

$AA^T = \begin{pmatrix} z_1 \\ \vdots \\ z_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z_1 & \cdots & z_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_1^2 && z_1z_2 && \cdots && z_1z_n \\ z_2z_1 && z_2^2 && \cdots && z_2z_n \\ \vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\ z_nz_1 && z_nz_2 && \cdots && z_n^2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 && 0 && \cdots && 0 \\ 0 && 1 && \cdots && 0 \\ \vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\ 0 && 0 && \cdots && 1 \\ \end{pmatrix} = E$