Konstanzkriterium: Zusammenhang zwischen Konstanz einer Funktion und ihrer Ableitung – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“

In diesem Kapitel wollen wir eine nützliche Folgerung aus dem Mittelwertsatz besprechen, die bereits aus der Schulzeit bekannt ist: Das Kriterium für Konstanz. Dieses besagt, dass eine Funktion konstant sein muss, wenn ihre Ableitung überall verschwindet (gleich Null ist).

Kriterium für Konstanz

Satz

Sei $I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und $f:I\to \mathbb {R}$ eine differenzierbare Funktion mit $f'(x)=0$ für alle $x\in I$. Dann ist $f$ konstant.

Beweis

Seien $a,b\in I$ mit $a<b$ beliebig. Sei außerdem $f$ auf dem Intervall $[a,b]$ differenzierbar und für alle $\xi \in I$ gelte $f'(\xi )=0$. Nach dem Mittelwertsatz gibt es ein $\xi \in (a,b)$ mit

$f'(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

Wir wissen, dass $f'(\xi )=0$ gelten muss. Also:

$0=f'(\xi )={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$

Wegen $a<b$ ist $b-a\neq 0$. Nun multiplizieren wir beide Seiten mit $(b-a)$. Wir erhalten:

$f(b)-f(a)=0\cdot (b-a)=0$

Es folgt $f(a)=f(b)$. Da dies für alle $a$ und $b$ in $I$ gilt, ist $f$ konstant.

Identitätssatz der Differentialrechnung

Die erste Folgerung besagt, dass Funktionen mit identischer Ableitung bis auf eine Konstante übereinstimmen. Dieses Ergebnis wird sich später beim Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung als sehr nützlich erweisen.

Satz (Identitätssatz)

Seien $f,g:[a,b]\to \mathbb {R}$ zwei differenzierbare Funktionen mit $f'=g'$. Dann gilt $f(x)=g(x)+c$ für alle $x\in [a,b]$. Dabei ist $c\in \mathbb {R}$ eine konstante Zahl.

Beweis (Identitätssatz)

Wir definieren die Hilfsfunktion

$h:[a,b]\to \mathbb {R} ,\ h(x)=f(x)-g(x)$

Diese ist differenzierbar, da $f$ und $g$ differenzierbar sind, und es gilt

$h'(x)=f'(x)-g'(x){\overset {f'=g'}{=}}0$

Nach dem Kriterium für Konstanz ist daher $h(x)=f(x)-g(x)=c$ für alle $x\in [a,b]$ mit einer konstanten Zahl $c\in \mathbb {R}$. Dies ist äquivalent zu

$f(x)=g(x)+c$

Anwendung: Charakterisierung der Exponentialfunktion

Satz (Charakterisierung der Exponentialfunktion)

Sei $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ differenzierbar. Weiter sei $\lambda \in \mathbb {R}$ und für alle $x\in \mathbb {R}$ gelte

$f'(x)=\lambda f(x)$

Dann gilt $f(x)=c\exp(\lambda x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$ mit einer Konstanten $c\in \mathbb {R}$. Ist $\lambda =1$ und gilt zusätzlich $f(0)=1$, so ist $f=\exp$.

Beweis (Charakterisierung der Exponentialfunktion)

Wir definieren die Hilfsfunktion

$h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ h(x)=f(x)\exp(-\lambda x)$

Diese ist nach der Produkt- und Kettenregel differenzierbar. Es gilt

${\begin{aligned}h'(x)&=f'(x)\exp(-\lambda x)+f(x)\exp(-\lambda x)(-\lambda )\\&=\lambda f(x)\exp(-\lambda x)-\lambda f(x)\exp(-\lambda x)=0\end{aligned}}$

Nach dem Kriterium für Konstanz gibt es ein $c\in \mathbb {R}$ mit $h(x)=f(x)\exp(-\lambda x)=c$ für alle $x\in [a,b]$. Dies ist nun aber äquivalent zu

$f(x)=c\exp(\lambda x)$

Gilt nun $\lambda =1$ und zusätzlich $f(0)=1$, so ist

$f(0)=c\exp(0)=c=1$

Also ist $f=\exp$.

Hinweis

Alternativ kann man auch $h$ als $h(x)={\tfrac {f(x)}{\exp(\lambda x)}}$ schreiben und die Quotientenregel anwenden, um die Ableitung $h'$ zu bestimmen. Außerdem erfüllt die Funktion $f(x)=c\exp(\lambda x)$ die Differentialgleichung $f'=\lambda f$. Es ist nämlich:

$f'(x)=c\exp '(\lambda x)=c\lambda \exp(\lambda x)=\lambda c\exp(\lambda x)=\lambda f(x)$

Übungsaufgaben

Intervallvoraussetzung des Konstanzkriteriums

Die Voraussetzung, dass die Funktion $f$ auf einem Intervall definiert ist, ist für das Kriterium für Konstanz notwendig! Dies zeigt folgende Aufgabe:

Aufgabe

Finde eine differenzierbare Funktion $f:D\to \mathbb {R}$ mit $D\subseteq \mathbb {R}$ und $f'(x)=0$ für alle $x\in D$, die nicht konstant ist.

$D$ muss hier so gewählt werden, dass es kein Intervall ist. Ansonsten würde aus dem vorherigen Satz folgen, dass $f$ konstant ist.

Lösung

Die Funktion $f$

Wir definieren $D:=]0,1[\cup ]2,3[$ und setzen $f$

$f:D\to \mathbb {R} ,x\mapsto {\begin{cases}0&x\in ]0,1[\\1&x\in ]2,3[\end{cases}}$

Die Funktion $f$ ist offensichtlich nicht konstant. Es gilt aber für alle ${\tilde {x}}\in D$ die Gleichung $f'({\tilde {x}})=0$. Hierzu betrachten wir zunächst ein ${\tilde {x}}\in ]0,1[$. Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $D\setminus \lbrace {\tilde {x}}\rbrace$, die gegen ${\tilde {x}}$ konvergiert. Dann gibt es ein $N\in \mathbb {N}$, so dass für alle $n>N$ die Ungleichung $x_{n}=|x_{n}|\leq 2$ erfüllt ist. Daraus folgt $x_{n}\in ]0,1[$. Es gilt folglich für alle $n>N$, dass $f(x_{n})=0$ ist. Also:

${\frac {f(x_{n})-f({\tilde {x}})}{x_{n}-{\tilde {x}}}}={\frac {0-0}{x_{n}-{\tilde {x}}}}=0$

Damit gilt:

$f'({\tilde {x}})=\lim _{x\to {\tilde {x}}}{\frac {f(x)-f({\tilde {x}})}{x-{\tilde {x}}}}=0$

Der Beweis, dass auch für alle ${\tilde {x}}\in ]2,3[$ die Gleichung $f'({\tilde {x}})=0$ erfüllt ist, geht komplett analog.

Trigonometrischer Pythagoras

Mit Hilfe des Kriteriums für Konstanz lassen sich auch sehr gut Identitäten über Funktionen beweisen:

Aufgabe (Trigonometrischer Pythagoras)

Zeige, dass für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt

$\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1$

Dabei ist $\sin ^{2}(x)=\sin(x)\cdot \sin(x)$ und $\cos ^{2}(x)=\cos(x)\cdot \cos(x)$.

Lösung (Trigonometrischer Pythagoras)

Wir definieren die Hilfsfunktion

$h:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ h(x)=\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)$

Diese ist nach der Ketten- und Summenregel für Ableitungen auf ganz $\mathbb {R}$ differenzierbar, und es gilt

${\begin{aligned}h'(x)&=2\sin(x)\cos(x)+2\cos(x)(-\sin(x))\\&=2\sin(x)\cos(x)-2\sin(x)\cos(x)=0\end{aligned}}$

Damit ist $h$ konstant eine Zahl $c$. Diese können wir bestimmen, indem wir $h(0)$ berechnen:

$h(0)=\sin ^{2}(0)+\cos ^{2}(0)=0^{2}+1^{2}=1$

Also ist $h$ konstant $1$ und es gilt damit:

$h(x)=\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1$

Funktionalgleichung für Arkustangens

Aufgabe (Funktionalgleichung für $\arctan$)

Zeige: $\arctan(x)+\arctan({\tfrac {1}{x}})={\tfrac {\pi }{2}}$ für $x>0$

Lösung (Funktionalgleichung für $\arctan$)

Wir definieren $f:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ und $f(x)=\arctan(x)+\arctan({\tfrac {1}{x}})$. Die Funktion $f$ ist auf $\mathbb {R} ^{+}$ nach der Summen- und Kettenregel für Ableitungen differenzierbar. Damit gilt

${\begin{aligned}f'(x)&={\frac {1}{1+x^{2}}}+{\frac {1}{1+{\frac {1}{x^{2}}}}}\cdot {\frac {-1}{x^{2}}}\\[0.5em]&={\frac {1}{1+x^{2}}}-{\frac {1}{1+x^{2}}}=0\end{aligned}}$

Nach dem Kriterium für Konstanz ist $f$ daher konstant. Um den genauen Wert zu bestimmen reicht es eine konkreten Wert einzusetzen. Wir wählen $x=1$ und erhalten

$f(1)=\arctan(1)+\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{4}}={\frac {\pi }{2}}$

Es ist nämlich $\tan \left({\tfrac {\pi }{4}}\right)=1$ und damit $\arctan(1)={\tfrac {\pi }{4}}$. Damit folgt die Behauptung.

Übungsaufgabe zum Identitätssatz

Aufgabe (Logarithmus-Darstellung des Areasinus Hyperbolicus)

Zeige, dass für alle $x\in \mathbb {R}$ gilt

$\operatorname {arsinh} (x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$

Beweis (Logarithmus-Darstellung des Areasinus Hyperbolicus)

Die Funktion $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ f(x)=\operatorname {arsinh} (x)$ ist nach den Beispielen für Ableitungen auf ganz $\mathbb {R}$ differenzierbar. Ihre Ableitung ist

$f'(x)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

Nach der Ketten- und Summenregel ist auch $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ g(x)=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$ auf ganz $\mathbb {R}$ differenzierbar. Es gilt:

${\begin{aligned}g'(x)&={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot \left(1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}}\right)\\[0.3em]&={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot \left({\frac {{\sqrt {x^{2}+1}}+x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\right)\\[0.3em]&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\end{aligned}}$

Es ist $f'(x)=g'(x)$ für alle $x\in \mathbb {R}$ und nach dem Identitätssatz ist daher $f(x)=g(x)+c$ mit einer Konstanten $c$. Nun ist aber wegen $\sinh(0)=0$:

$f(0)=\operatorname {arsinh} (0)=0$

Außerdem ist

$g(0)=\ln \left(0+{\sqrt {0^{2}+1}}\right)=0$

Also ist $c=0$ und damit folgt die Behauptung.

Charakterisierung vom Sinus und Kosinus

Aufgabe (Charakterisierung von Sinus und Cosinus)

Seien $s,c:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ zwei differenzierbare Funktionen mit

${\begin{aligned}s'&=c,&s(0)&=0\\c'&=-s,&c(0)&=1\end{aligned}}$

Beweise:

1. Es gilt $s^{2}(x)+c^{2}(x)=1$ für alle $x\in \mathbb {R}$
2. Es gibt genau ein Funktionenpaar, welches die obigen Bedingungen erfüllt, nämlich $s=\sin$ und $c=\cos$.

Hinweis: Betrachte bei der zweiten Teilaufgabe die Hilfsfunktion ${\hat {h}}(x)=(\sin(x)-s(x))^{2}+(\cos(x)-c(x))^{2}$.

Lösung (Charakterisierung von Sinus und Cosinus)

Lösung Teilaufgabe 1:

Wir betrachten die Hilfsfunktion

${\tilde {h}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ {\tilde {h}}(x)=s^{2}(x)+c^{2}(x)$

wobei $s$ und $c$ die Bedingungen von oben erfüllen. Dann ist ${\tilde {h}}$ mit der Summen- und Kettenregel differenzierbar, und es gilt

${\begin{aligned}{\tilde {h}}'(x)&=2s(x)s'(x)+2c(x)c'(x)\\&=2s(x)c(x)+2c(x)(-s(x))\\&=2s(x)c(x)-2s(x)c(x)=0\end{aligned}}$

Nach dem Kriterium für Konstanz ist daher ${\tilde {h}}(x)={\tilde {c}}$ für ein $c\in \mathbb {R}$. Nach den Vorraussetzungen gilt

${\tilde {h}}(0)=s^{2}(0)+c^{2}(0)=0^{2}+1^{2}=1$

Also ist ${\tilde {c}}=1$ und es gilt die Behauptung ${\tilde {h}}(x)=s^{2}(x)+c^{2}(x)=1$.

Lösung Teilaufgabe 2:

Wir betrachten die differenzierbare Hilfsfunktion

${\hat {h}}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,{\hat {h}}(x)=(\sin(x)-s(x))^{2}+(\cos(x)-c(x))^{2}$

Für diese gilt

${\begin{aligned}{\hat {h}}'(x)&=2(\sin(x)-s(x))(\cos(x)-s'(x))+2(\cos(x)-c(x))(-\sin(x)+c'(x))\\&{\overset {\text{Vor.}}{=}}2(\sin(x)-s(x))(\cos(x)-c(x))+2(\cos(x)-c(x))(-\sin(x)-s(x))\\&=2(\sin(x)-s(x))(\cos(x)-c(x))-2(\cos(x)-c(x))(\sin(x)+s(x))\\&=0\end{aligned}}$

Nach dem Kriterium für Konstanz ist daher ${\hat {h}}(x)={\hat {c}}$ mit ${\hat {c}}\in \mathbb {R}$. Auf Grund der Voraussetzungen gilt

${\begin{aligned}{\hat {h}}(0)&=(\sin(0)-s(0))^{2}+(\cos(0)-c(0))^{2}\\&=(0-0)^{2}+(1-1)^{2}\\&=0^{2}+0^{2}=0\end{aligned}}$

Also ist ${\hat {h}}(x)=(\sin(x)-s(x))^{2}+(\cos(x)-c(x))^{2}=0$. Nun ist sowohl $(\sin(x)-s(x))^{2}\geq 0$ und $(\cos(x)-c(x))^{2}\geq 0$ für alle $x\in \mathbb {R}$. Damit also die Summe $(\sin(x)-s(x))^{2}+(\cos(x)-c(x))^{2}$ gleich Null sein kann, müssen beide Summanden $(\sin(x)-s(x))^{2}$ und $(\sin(x)-s(x))^{2}$ gleich Null sein. Es folgt

${\begin{aligned}(\sin(x)-s(x))^{2}=0\implies \sin(x)-s(x)=0\implies \sin(x)=s(x)\\(\cos(x)-c(x))^{2}=0\implies \cos(x)-c(x)=0\implies \cos(x)=c(x)\end{aligned}}$

Damit ist $s=\sin$ und $c=\cos$, was zu beweisen war.