Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Gruppen, Ringe und Körper

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Wikibooks-logo.svg Mathematik One wikibook.svg Lineare AlgebraWikibooks buchseite.svg GrundlagenWikibooks buchseite.svg Gruppen, Ringe und Körper
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Inhaltsverzeichnis


[Bearbeiten] Operationen, Halbgruppen und Gruppen

[Bearbeiten] Operationen

Eine Operation oder (zweistellige) inneren Verknüpfung (M,\ \circ) bezeichnet man eine Menge M mit der Abbildung \circ\colon\ M \times M \to M mit M^2 \ni (x,\ y) \mapsto \circ(x,\ y) =: x \circ y \in M. Operationen auf endlichen Mengen, z. B. M = (a_1, a_2, \ldots, a_n) lassen sich durch sogenannte Verknüpfungstabellen darstellen:

\circ a1 a2 a3 \ldots an − 1 an
a1 a_{1\,1} a_{1\,2} a_{1\,3} \ldots a_{1\,n-1} a_{1\,n}
a2 a_{2\,1} a_{2\,2} a_{2\,3} \ldots a_{2\,n-1} a_{2\,n}
a3 a_{3\,1} a_{3\,2} a_{3\,3} \ldots a_{3\,n-1} a_{3\,n}
\vdots \vdots \vdots \vdots \ddots \vdots \vdots
an − 1 a_{n-1\,1} a_{n-1\,2} a_{n-1\,3} \ldots a_{n-1\,n-1} a_{n-1\,n}
an a_{n\,1} a_{n\,2} a_{n\,3} \ldots a_{n\,n-1} a_{n\,n}

So gilt a_{i\,j} := a_i \circ a_j für i, j \in \{0, 1, \ldots, n\}.

[Bearbeiten] Beispiele

  • Die Menge der natürlichen Zahlen mit der Addition (\mathbb{N},\ +).
  • Die logische Operation (\{w, f\},\mathbf{AND}):
\mathbf{AND} w f
w w f
f f f
  • (\{x,\ y,\ z\}, \circ)
\circ x y z
x x z x
y y z y
z y x x

[Bearbeiten] Halbgruppen

Eine Halbgruppe ist eine zweistellige innere Verknüpfung, bei der das Assoziativgesetz gilt. Folglich muss gelten:

  • (M, \circ) ist eine zweistellige Operation
  • \forall\ a, b, c \in M\colon (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) =: a \circ b \circ c

Beispiele hierfür sind wieder wie oben (\mathbb{N}, +) und (\{w, f\}, \mathbf{AND}), jedoch nicht das dritte Beispiel.

[Bearbeiten] Monoide

Ein Monoid ist eine Halbgruppe, in dem ein sogenanntes neutrales Element existiert. Dieses nennen wir e.

\forall\, a\in M: a \circ e = e \circ a = a

Es reicht allerdings anzunehmen, dass sowohl ein rechtsneutrales Element er (für dass a \circ e = a\ \forall\, a\in M gilt) und ein linksneutrales Element el (für das e \circ a = a\ \forall\, a\in M gilt) existiert, denn aus el = eler = er folgt, das diese gleich sein müssen. Wenn es zwei neutrale Elemente e1,e2 gäbe, folgt aus e1 = e1e2 = e2, dass diese gleich sind.

[Bearbeiten] Gruppen

Eine Gruppe ist ein Monoid, in dem zusätlich auch noch sogenannte inverse Elemente existieren. Für jedes Element a existiert also ein inverses Element a - 1 mit aa − 1 = a − 1a = e.

Auch hier reicht es wieder anzunehmen, das es zu jedem Element a ein rechtsinverses Element b (mit ab = e) und ein linksinverses Element c (mit ca = e) existiert. Aus b = eb = cab = ce = c folgt dann, das diese gleich sind.

[Bearbeiten] Schreibweisen

[Bearbeiten] Ringe

Ein Ring (R, +, \cdot) muss folgende Bedingungen erfüllen:

  • (R, + ) ist eine abelsche Gruppe
  • (R, \cdot) ist eine Halbgruppe
  • Es gilt das Distributivgesetz: \forall\ a, b, c \in R:\ a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c \wedge (b+c)\cdot a = b\cdot a + c\cdot a


[Bearbeiten] Körper

Ein Körper (K, \oplus, \odot) muss folgende Bedingungen erfüllen:

  • \left(K, \oplus \right) ist eine abelsche Gruppe (mit neutralem Element 0)
  • \left(K \setminus \{0\}, \odot \right) ist eine abelsche Gruppe
  • Es gilt das Distributivgesetz: \forall\ a, b, c \in K:\ (a \oplus b) \odot c = (a \odot c) \oplus (b \odot c)
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