Physikalische Grundlagen der Nuklearmedizin/ Entfaltung

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung
2 Renographie
3 Ein ideales Renogram
4 Faltung
5 Entfaltung

[Bearbeiten] Einleitung

Ein Renogramm stellt in der Nuklearmedizin eine Untersuchung der Niere dar bei der die Strahlung die durch eine Injektion eines Radiotracers in die Aussenvene in der Niere freigesetzt wird. Die Ankunft des Tracers in der der Niere wird daher zeitlich verschmiert, und die unmittelbare Wirkung kann nicht gemessen werden. Man spircht auch von einer (Impuls-) Anwortfunktion1, wobei der Impuls die zeitlich eng begrentzte Injektion des Tracers ist und die Antwortfunktion1 der zeitlich langsahm veränderliche Verlauf der Aktivität darstellt. Diese Anwortfunktion1 hängt natürlich von der Zerfallsrate und der injezierten Aktivität ab. Jedoch auch von der Geschwindigkeit mit der die Niere den Radiotracer aufnimmt. Die wir durch die wir mit einer Antwortfunktion2 beschreiben wollen. !!THE TRANSLATION DIFFERS DROP KIERAN AN EMAIL ABOUT IT!! Die Entfaltungsanalyse ist, wie wir unten sehen werden, eine Methode um die Antwortfunktion2 aus dem Renogram (also der Antwortfunktion1) zu bestimmen. So dass die Stoffwechselfunktion beider Nieren eines Patienten oder der Niegen zweier unterscheidlicher Patienten zuverlässig verglichen werden können.

[Bearbeiten] Renographie

In der Renographie, zeigen Hintergundkorregierte Kurven an wie sich die Menge eines Tracers in jeder Niere mit der Zeit verändert.Weiterhin hängt die Form jeder der beiden Kurven ab von der Rate mit der der Tracer:

über das renale Aterielle Systen in die Nieren eintritt.
die Nieren über den Uterus verlässt.

Die Rate mit der der Trace in die Niergen eintritt wird Eingangsrate $I (t)$ genannt und hängt ab von

von der Plasma-Konzentration der Tracers in der renalen Aterie $P (t)$
der Rate mit der der Trace aus dem Plasma durch die Nieren extrahiert wird.

In Falle eines Tracers der schnell durch die Nieren extrahiert wird (wie z.B. OIH, MAG3) hängt die Extraktionrate vom Effektiven Renalen Plasma-Fluss ( $ERPF$ ) ab, so dass:

$I(t) = \mathrm{ERPF} \cdot P(t)$

.

In the case of a tracer which is extracted via glomerular filtration (e.g. DTPA), the rate of extraction is dependent on the glomerular filtration rate ( $GFR$ ), so that:

$I(t) = \mathrm{GFR} \cdot P(t)$

.

The variation in plasma concentration with time, $P (t)$ , consists initially of a spike whose amplitude and duration depend on:

the rate of injection,
the site of injection,
the rate of mixing of the tracer in the blood.

Following this initial spike, the plasma concentration, $P (t)$ , decreases bi-exponentially with time depending on:

the exchange rates with the extravascular space,
the uptake of the tracer by the kidneys.

The plasma concentration, $P (t)$ , is therefore dependent on factors which are not related directly to renal function. As a result, renograms from different patients, or from the same patient at different times, may be difficult, if not impossible, to compare.

[Bearbeiten] Ein ideales Renogram

Ein ideales Renogramm würde man erhalten wenn man den Tracer direkt in die Nier injizieren könnte. Idealerweise sollte eine solche Injektion zu einer Eingangsrate $I (t)$ führen die durch eine Deltafunktion beschrieben werden kann. Eine solche würde man als Impulseingangsfunktion bezeichnen.

Das sich ergebende ideale Renogram wird als Impulsantwort der Niere $H (t)$ bezeichnet.

In der Praxis, misst man jedoch die Antwortfunktion der Niere für eine nicht ideale Eingangsrate. Diese reale Antwortfunktion $R (t)$ , kann man sich als aus einer Faltung der tatsächlichen Eingangsrate mit der Impulsantwortfunktion der Niere vorstellen.

$R(t) = I(t) \otimes H(t)$ .

Der Prozess der Bestimmung von $H (t)$ aus der Messung von $R (t)$ und $I (t)$ wird als Entfaltung bezeichnet. Anders ausgedrückt erlaubt die Entfaltung von Renogramm-Kurven die Antwortfunktion der Niere auf für eine ideale infjetion zu bestimmen. Als Ergebniss daraus kann man genauere Vergleiche von mehreren Untersuchungen eines Patienten oder zwischen unterschiedlichen Patienten anstellen. Zumindest in der Theorie!

[Bearbeiten] Faltung

Bevor wir uns mit dem Thema Entfaltung beschäftigen, werde wie zunächst den Faltungsprozess behandeln.

Man betrachte das in der folgenden Abbildung dargestelle grob vereinfachte Modell einer Niere. Das Modell nimmt die Niere als auf vier Durchgangswegen bestehen, durch die der Tracer in gleicher weise fließt. Nehmen wir an der Tracer brauche 3 Minuten um den kürzesten weg zu passieren und 6 Minuten für den längsten, sowie 4 und 5 Minuten für die verbleibenden beiden wege.

Illustration of a gamma camera imaging a hypothetical kidney.

Wenn eine Deltafunktion I auf den Eingang des Modells gibt, wird die Antwort des Systems durch die Impulsanwortfunktion H gegeben sein, wie dies in der obigen Abbildung dargestellt ist. Die Form der Impulsantwortfunktion kann man verstehen indem man die zeitliche Bewegung des Tracers durch das Modell betrachtet:

Die Impulsantwortfunktion, H,

wird in den ersten drei Minuten nach der Injektion gleich eins sein, da die Ausgangmenge des Tracers während dieser Zeit vollständig im Sichtfeld der Gamma Kamera verbleibt.

In der vierten Minute, wir die Menge des Tracers sich um 25% verringert haben, das dieser Anteil den kürzesten weg genommen und das Sichtfeld der Kamera verlassen hat, so dass $H$ auf 0,75 abnehmen wird.
Ähnlich wird $H$ in der fünften Minute auf 0,5 abfallen.
Und schliesslich auf 0.25 in der sechsten Minute und auf 0 in der siebenten Minute.

Der wichtige Punkt, den wir uns hier merken sollten ist, dass die Art und Weise wie die Antwortfunktion abfällt, informationen über die Durchgangszeit der Wege enthällt. Man kann das Abfallen der Antwortfunktion durch eine mittlerer und eine maximale Durchgangszeit charakterisieren.

Man beachte das man dieses einfache Modell durch hinzunahme weiterer Durchgangswege erweitert werden kann und dann auch Durchgangszeiten beschreibt, die realen Nieren sehr ähnlich sind.

FIXME: Note also that this form of modelling can be applied separately to the renal parenchyma, to the renal pelvis and to the whole kidney.

Unfortunately however, ideal impulse inputs are virtually impossible to generate in practice - except possibly in the case of a bolus injection into a renal artery! Nevertheless, the above thinking can be modified to include the effects of a non-ideal injection, as illustrated below:

Datei:NM15 2.gif

Illustration of the response to a non-ideal imput.

Here, the input to our grossly oversimplified renal model is not an ideal impulse injection (sometimes called a bolus) but is spread out so that the quantity of tracer decreases exponentially with time. When it is assumed that the response of the whole kidney to a succession of impulse inputs is equal to the sum of the individual responses to each impulse, we can infer that:

$\begin{matrix} R_1&=&I_1 H_1 \mathrm{d}t \\ R_2&=&(I_1 H_2 + I_1 H_2) \mathrm{d}t \\ R_3&=&(I_1 H_3 + I_2 H_2 + I_3 H_1) \mathrm{d}t \\ R_4&=&(I_1 H_4 + I_2 H_3 + I_3 H_2 + I_4 H_1) \mathrm{d}t \\ \mathrm{etc} \end{matrix}$

wobei Dt das Zeitintervall ist welches für die Messung der Menge des Tracers verwendet wird.

Daher gilt im algemein.

$R_i=\sum_{j=1}^{i}I_j H_{i-j+1} \mathrm{d}t$

wobei i = 1, 2, 3, 4, .....

Drücken wir die Beziehung als kontinuierlich (im Gegensatz zu diskret) aus, so erhalten wir eine Funktion die Faltungsintegral genannt wird.

$R(t)=\int_0^t I(\tau) H(t-\tau)\mathrm{d}\tau$

welches man üblicherweise folgendermaßen aufschreibt:

$R(t) = I(t) \otimes H(t)$ .

In other words, the real renogram curve, $R (t)$ , can be considered to result from the ideal renogram curve, $H (t)$ , being convolved with a real input function, $I (t)$ .

The model just described is an example of what is often referred to as a linear system, i.e. a system where the response to a train of impulse inputs is given by the sum of the individual responses to each impulse. This type of system also assumes that the flow of tracer is constant through the system during the measurement period, i.e. the system is assumed to be stationary. In other words, for renography, it is assumed that the renal clearance rate and the urine flow rate remain constant during the study. The renal clearance may be assumed to remain constant after the initial phase of the renogram since the small quantity of tracer used (be it O¹²³IH, ^99mTc-MAG3 or ^99mTc-DTPA) does not affect renal function. The same cannot be said for the urine flow rate, however, where excretion from the renal pelvis is frequently observed to occur in bursts, as opposed to a continuous flow. Note that this lack of stationarity can give rise to major problems in the application of deconvolution analysis.

[Bearbeiten] Entfaltung

Entfaltung ist ein mathematisches Verfahren das verwendet wird um $H$ aus Messungen von $I$ und $R$ bestimmen. Entfaltungstechniken die in der Renographie verwendert werden sind unter anderem:

Matrix Inversion - wobei das Faltungsintegral in Matrix form ausgedrückt wird.

where the convolution integral is expressed in matrix form as:

$R = I \cdot H \triangle t$ ,

Wobei $\cdot$ für die Matrixmultiplikation steht. Was aufgelöst werden kann zu:

$H=\frac{1}{\triangle t} I^{-1} \cdot R$

wobei $I - 1$ die inverse Matrix der Matrix $I$ bezeichnet.

Fourier Transformation - wobei die Fouriertransformierte ( $\mathcal{FT}$ ) des Faltungsintegrals berechnet wird. Also:

$\mathcal{FT}(R(t)) = \mathcal{FT} (I(t)) \cdot \mathcal{FT}(H(t))$ ,

$H (t)$ kann bestimmt werden aus:

$H(t)=\mathcal{IFT}\left( \frac { \mathcal{FT}(R(t)) } { \mathcal{FT}(I(t)) } \right)$

d.h. indem man die Fouriertransformierte von $R (t)$ durch die Fouriertransformierte von $I (t)$ , teilt und die inverse Fouriertransformation ( $\mathcal{IFT}$ ) des Ergebnisses berechnet.

Diese beiden Techniken sind sehr empfindlich gegen statistische fluktuationen der gemessenen Daten. Both of these techniques are highly sensitive to statistical fluctuations in the measurements, and the measured curves for $R (t)$ and $I (t)$ are therefore generally smoothed prior to Fourier transformation.

In clinical practice, a background corrected renogram curve can be used for R(t), and a vascular region of interest (RoI) over, for example, the heart, can be used as a measure of $I (t)$ . The impulse response, $H (t)$ , obtained following deconvolution has a form similar to that shown in the following figure:

Datei:NM15 8.gif

General form of the impulse response obtained using deconvolution renography.

$H 0$ is the impulse response at time, $t$ $= 0$ , and can be shown to be equal to the kidney uptake constant. Indicators of the time taken for the tracer to pass through the kidneys can include the minimum, mean and maximum transit times, as well as the range of transit times. It is also possible to generate a transit time spectrum by differentiating $H (t)$ .

Finally, it should be noted that a background subtracted renogram is not strictly required in deconvolution analysis, and the raw renogram curve may be used directly. The reason becomes apparent by considering that the overall response function measured from the raw data arises from the sum of the kidney response function and the tissue response function, as illustrated in the figure below:

Datei:NM15 9.gif

Illustration of the addition of kidney and tissue response functions.

The renal transit times can still be obtained from the combined response function, and it can be seen that the uptake constant can be determined by extrapolation.

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