A. Einstein: Kommentare und Erläuterungen: Zur Elektrodynamik bewegter Körper: Elektrodynamischer Teil

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Elektrodynamischer Teil

§ 6. Transformation der Maxwell-Hertzschen Gleichungen für den leeren Raum ...

Nun endlich kann sich Einstein seinem eigentlichen Anliegen zuwenden, das der ganzen Arbeit den Titel gegeben hat.

Vorab: (X Y Z) ist natürlich nicht der Vektor der elektrischen Kraft, sondern der der elektrischen Feldstärke, entsprechend ist (L M N) der Vektor der magnetischen Feldstärke.

Hier geht es um Folgendes: In einem Raumstück des Systems K sind ein örtlich und zeitlich veränderliches elektrisches Feld und ein ebensolches Magnetfeld vorhanden. Die Feldvektoren dieser Felder sind

${\overrightarrow {E}}=\left({E_{x}\left({x,y,z,t}\right)\;\;\;E_{y}\left({x,y,z,t}\right)\;\;\;E_{z}\left({x,y,z,t}\right)}\right)$

${\overrightarrow {H}}=\left({H_{x}\left({x,y,z,t}\right)\;\;\;H_{y}\left({x,y,z,t}\right)\;\;\;H_{z}\left({x,y,z,t}\right)}\right).$

Die örtlichen und zeitlichen Veränderungen der beiden Feldvektoren bedingen einander und bringen einander hervor. Die zwischen den Feldvektoren bestehenden Verknüpfungen werden durch die Maxwellschen Gleichungen beschrieben.

Die sechs oben stehenden Gleichungen sind die Komponentendarstellungen der ersten beiden Maxwellschen Gleichungen im heute veralteten »CGS-System« (Centimeter-Gramm-Sekunden-System):

${\frac {1}{V}}{\frac {\partial {\overrightarrow {E}}}{\partial t}}=\operatorname {rot} \;{\overrightarrow {H}},\quad \quad {\frac {1}{V}}{\frac {\partial {\overrightarrow {H}}}{\partial t}}=-\operatorname {rot} \;{\overrightarrow {E}}\;.$

V ist wieder die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit.

Im Internationalen Maßsystem (SI) lauten diese beiden Gleichungen:

$\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\overrightarrow {E}}}{\partial t}}=\operatorname {rot} \;{\overrightarrow {H}}\,,\quad \quad \mu _{0}{\frac {\partial {\overrightarrow {H}}}{\partial t}}=-\operatorname {rot} \;{\overrightarrow {E}}\;.$

Mit

$\operatorname {rot} \;{\overrightarrow {H}}=\left({{\frac {\partial H_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial H_{y}}{\partial z}}}\right){\overrightarrow {i}}+\left({{\frac {\partial H_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial H_{z}}{\partial x}}}\right){\overrightarrow {j}}+\left({{\frac {\partial H_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial H_{x}}{\partial y}}}\right){\overrightarrow {k}}$

und

$\operatorname {rot} \;{\overrightarrow {E}}=\left({{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}}\right){\overrightarrow {i}}+\left({{\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}}\right){\overrightarrow {j}}+\left({{\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}}\right){\overrightarrow {k}}$

sowie mit den Abkürzungen

$E_{x}=X\,,\quad E_{y}=Y\,,\quad E_{z}=Z\,,\quad H_{x}=L\,,\quad H_{y}=M\,,\quad H_{z}=N$

ergeben sich die sechs oben stehenden Gleichungen.

Die nun vorzunehmende Transformation auf das System k erfolgt im Prinzip so, dass die partiellen Ableitungen nach x, y, z und t mit Hilfe der Transformationsgleichungen durch solche nach ξ, η, ζ und τ ersetzt werden. Bei der ersten Gleichung

${\frac {1}{V}}{\frac {\partial X}{\partial t}}={\frac {\partial N}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}.$

geht das so:

Linke Seite:

${\frac {1}{V}}{\frac {\partial X}{\partial t}}={\frac {1}{V}}\left({{\frac {\partial X}{\partial \xi }}{\frac {\partial \xi }{\partial t}}+{\frac {\partial X}{\partial \eta }}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial X}{\partial \zeta }}{\frac {\partial \zeta }{\partial t}}+{\frac {\partial X}{\partial \tau }}{\frac {\partial \tau }{\partial t}}}\right)={\frac {1}{V}}\left({-\beta v{\frac {\partial X}{\partial \xi }}+\beta {\frac {\partial X}{\partial \tau }}}\right).$

Rechte Seite:

${\frac {\partial N}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}={\frac {\partial N}{\partial \eta }}{\frac {\partial \eta }{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial \zeta }}{\frac {\partial \zeta }{\partial z}}={\frac {\partial N}{\partial \eta }}-{\frac {\partial M}{\partial \zeta }}$

Dies in die Gleichung eingesetzt und diese geordnet, ergibt

${\frac {\beta }{V}}{\frac {\partial X}{\partial \tau }}=\beta {\frac {v}{V}}{\frac {\partial X}{\partial \xi }}+{\frac {\partial N}{\partial \eta }}-{\frac {\partial M}{\partial \zeta }}\quad \quad \left(1\right)$

Bei dieser (und ebenso bei der vierten) Gleichung ergibt sich eine Komplikation: die partielle Ableitung ${\frac {\partial X}{\partial \xi }}$ muss eliminiert und durch partielle Ableitungen nach η und ξ ersetzt werden. (Der Grund dafür wird später erkennbar.) Dies geschieht wie folgt: Im Vakuum ist

${\mathrm {div} }\;{\overrightarrow {E}}=0$

also

${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial X}{\partial x}}=-{\frac {\partial Y}{\partial y}}-{\frac {\partial Z}{\partial z}}\quad \left(2\right)$

Die linke Seite der Gleichung ist

${\frac {\partial X}{\partial x}}={\frac {\partial X}{\partial \xi }}{\frac {\partial \xi }{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial \eta }}{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial \zeta }}{\frac {\partial \zeta }{\partial x}}+{\frac {\partial X}{\partial \tau }}{\frac {\partial \tau }{\partial x}}=\beta {\frac {\partial X}{\partial \xi }}-\beta {\frac {v}{V^{2}}}{\frac {\partial X}{\partial \tau }}.$

Die rechte Seite ist:

$-{\frac {\partial Y}{\partial y}}-{\frac {\partial Z}{\partial z}}=-{\frac {\partial Y}{\partial \eta }}{\frac {\partial \eta }{\partial y}}-{\frac {\partial Z}{\partial \zeta }}{\frac {\partial \zeta }{\partial z}}=-{\frac {\partial Y}{\partial \eta }}-{\frac {\partial Z}{\partial \zeta }}.$

Eingesetzt in (2):

$\beta {\frac {\partial X}{\partial \xi }}=\beta {\frac {v}{V^{2}}}{\frac {\partial X}{\partial \tau }}-{\frac {\partial Y}{\partial \eta }}-{\frac {\partial Z}{\partial \zeta }}$

Dieses wiederum in (1) eingesetzt ergibt nach einfachen Umformungen schließlich

${\frac {1}{V}}{\frac {\partial X}{\partial \tau }}=\beta {\frac {\partial \left({N-{\frac {v}{V}}Y}\right)}{\partial \eta }}-\beta {\frac {\partial \left({M+{\frac {v}{V}}Z}\right)}{\partial \zeta }}.$

Ganz analog erhält man die übrigen fünf Gleichungen:

Betrachten wir nun das vorliegende elektromagnetische Feld vom System k aus. Wie unsere Betrachtungen im Kapitel »Einleitung« gezeigt haben, müssen wir damit rechnen, dass das elektrische und das magnetische Feld in k andere Werte E' bzw. H' haben als in K, aber für diese anderen Werte müssen wegen der Gleichberechtigung der Systeme (oder: wegen des Relativitätsprinzips) die Maxwellschen Gleichungen unverändert gelten.

${\frac {1}{V}}{\frac {\partial {\overrightarrow {E'}}}{\partial \tau }}=\operatorname {rot} \,{\overrightarrow {H'}},\quad \quad {\frac {1}{V}}{\frac {\partial {\overrightarrow {H'}}}{\partial \tau }}=\operatorname {rot} \;{\overrightarrow {E'}}\;.$

Einstein drückt das so aus:

Diese sechs Gleichungen beschreiben dasselbe elektromagnetische Feld wie die auf S. 907/908 dargestellten Gleichungen, nämlich das in k beobachtbare Feld. Der Unterschied besteht lediglich darin, dass einmal (in den Gleichungen auf S. 907/908) dazu die Komponenten der Feldvektoren benutzt werden, wie sie in K vorhanden sind, beim anderen Mal die Komponenten der Feldvektoren in k. Also müssen die einander entsprechenden Gleichungen identisch sein oder sich nur durch einen Faktor ψ unterscheiden, der allen Gleichungen gemeinsam wäre. Dieser Faktor könnte eventuell von v abhängig sein, nicht aber von den Ortskoordinaten, da alle unsere Gleichungen ortsunabhängig sind. Wenn die entsprechenden Gleichungen bis auf einen Faktor identisch sind, müssen es auch die einander entsprechenden Terme sein. Also ist

${\frac {\partial X'}{\partial \tau }}=\psi (v){\frac {\partial X}{\partial \tau }}\,,\quad {\frac {\partial Y'}{\partial \tau }}=\psi (v)\,\beta {\frac {\partial \left({Y-{\frac {v}{V}}N}\right)}{\partial \tau }}\,,\;\;{\mbox{usw}}{\mbox{.}}$

Daraus folgt

$X'=\psi (v)X+C\quad {\mbox{usw}}{\mbox{.}}$

Die bei der Integration auftretenden Konstanten stellen die Komponenten eines homogenen und zeitlich konstanten Feldes dar, das im System k dem elektromagnetischen Feld überlagert ist. Einem solchen Feld würde auch Im System K ein homogenes, konstantes Feld (wenn auch mit unterschiedlichen Feldstärken) entsprechen. Von einem solchen Feld aber haben wir von Anfang an abgesehen.

Aus

$X'=\psi (v)X\quad \Rightarrow \quad X={\frac {X'}{\psi (v)}}.$

Andererseits liefert die inverse Transformation

$\,X=\psi (-v)X',$

woraus durch Vergleich folgt:

$\psi (v)\;\psi (-v)=1.$

Hier ist zunächst fünfmal φ durch ψ zu ersetzen.

Die Interpretation sollte keine Probleme bereiten:

1. Die X-Komponente der elektrischen Feldstärke X hat in k und K denselben Wert.

2. Dasselbe gilt für die X-Komponente L der magnetischen Feldstärke.

3. Die Y-Komponente der elektrischen Feldstärke in k (Y' ) hängt außer von Y auch von N ab, also von der Y-Komponente der magnetischen Feldstärke in K. Selbst wenn in K kein elektrisches Feld existiert, kann in k eines vorhanden sein, nämlich dann, wenn es in K ein Magnetfeld gibt.

4. Analoges gilt für die Z-Komponente der elektrischen Feldstärke in K.

Und so weiter.

Die nachfolgende Interpretation Einsteins erübrigt sich weitgehend, wenn man die in den Gleichungen auftretenden (Feld-)Größen als das interpretiert, was sie sind, nämlich als die Komponenten der elektrischen und magnetischen Feldstärke, und nicht als die Komponenten der elektrischen und magnetischen Kräfte auf »Einheitspole«. Feldstärken sind nicht identisch mit Kräften auf Einheitspole, sondern sind »ladungsbezogene Kräfte«. Auch im CGS-System haben die beiden Größen verschiedene Dimensionen.

Einige Anmerkungen zum Text:

• Eine Elektrizitätsmenge heißt schon seit langem eine elektrische Ladung; sie kann auch nicht von der Größe "eins" sein, sondern nur vom Zahlenwert "eins", denn eine Größe hat außer ihrem Zahlenwert auch noch eine Maßeinheit.

• Im CGS-System ist die Einheit der elektrischen Ladung definiert als die punktförmige Ladung, die auf eine gleiche Ladung im Abstand 1 cm die Kraft 1 Dyn (= 10^-5 Newton) ausübt.

• »Nach dem Relativitätsprinzip ist diese elektrische Masse auch im bewegten System gemessen von der Größe "eins".« Die Begründung ist falsch. Das Relativitätsprinzip besagt lediglich, dass alle physikalischen Vorgänge (einschließlich der Ausbreitung des Lichts) in allen Inertialsystemen nach denselben Gesetzen ablaufen. Es besagt nicht, dass alle physikalischen Größen überall gleich sind. Sonst gäbe es keine Relativität der Masse und keine Relativität der Länge. - Nun erweist sich experimentell allerdings, dass die elektrische Ladung eines Körpers tatsächlich vom Bezugssystem unabhängig ist. (Sie ist eine »absolute Größe«.) Aber dies nicht wegen des Relativitätsprinzips, sondern aus einem anderen Grund, von dem ich nicht weiß, ob er überhaupt bekannt ist.

• » ... so ist die auf sie wirkende, im bewegten System gemessene Kraft gleich dem Vektor (X', Y', Z' ).« Eine Kraft kann nicht gleich einer Feldstärke sein, allenfalls kann ihr Betrag gleich dem Betrag der Feldstärke sein.

 

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