Die Hilbert-Korrespondenz

Satz (Hilbertscher Nullstellensatz):

Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $I\lneq k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ ein echtes Ideal. Dann ist $V(I)$ nichtleer.

Beweis: Wir wählen ein maximales Ideal $m$ aus, sodass $I\leq m$. Durch Induktion über $n$ wollen wir nun beweisen, dass jedes maximale Ideal von $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ der Gestalt $\langle x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n}-\alpha _{n}\rangle$ für gewisse Konstanten $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in k$ ist; dann enthält ja $V(I)$ den Punkt $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$. Es gilt $k[x_{1},\ldots ,x_{n}]=R[x_{n}]$ mit $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n-1}]$. Nach dem Satz von Goldman‒Krull und Induktion über $n$ ist $R=k[x_{1},\ldots ,x_{n-1}]$ ein Gleichradikalring. Gemäß der Klassifikation der maximalen Ideale in einem Polynomring über einen Gleichradikalring ist $m$ von der Gestalt $m_{0}+\langle f\rangle$, wobei $m_{0}=R\cap m$ maximal ist und $f$ ein Urbild via $R[x_{n}]\to R[x_{n}]/m_{0}[x_{n}]\cong (R/m_{0})[x_{n}]$ eines irreduziblen Polynoms in $R/m_{0}[x_{n}]$ ist. Allerdings gilt nach Induktion über $n$, dass $m_{0}=\langle x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n-1}-\alpha _{n-1}\rangle$ und daher die kanonische Abbildung $k\to R/m_{0}$ ein Isomorphismus ist, da sie sich als Komposition von Isomorphismen

$k\to k[x_{1},\ldots ,x_{n-1}]/\langle x_{1},\ldots ,x_{n-1}\rangle \to k[x_{1},\ldots ,x_{n-1}]/\langle x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n-1}-\alpha _{n-1}\rangle$

herausstellt, wobei der letztere Morphismus der Quotient von $x_{j}\mapsto x_{j}-\alpha _{j}$ ist. Daher können wir $f$ als ein irreduzibles Polynom aus $k[x]$ wählen. Da aber $k$ algebraisch abgeschlossen ist, ist $f$ linear, was die Behauptung beweist. $\Box$

Satz (Hilbertscher Korrespondenzsatz):

Auf dem Gitter (bezügl. Inklusion) aller radikalen Ideale $I\leq k[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ (mit Schnitt und Summe von Idealen) definieren wir die Funktion

$I\mapsto V(I)$.

Dies ist ein ordnungsumkehrender Isomorphismus von Gittern (wobei auf algebraischen Mengen die mengentheoretische Gitterstruktur gegeben ist).

Dabei korrespondieren Primideale mit hyperzusammenhängenden algebraischen Mengen.