Die Hilbert-Korrespondenz

Satz (Hilbertscher Nullstellensatz):

Es sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und $I⪇k[x_1,\dots ,x_n]$ ein echtes Ideal. Dann ist $V(I)$ nichtleer.

Beweis: Wir wählen ein maximales Ideal $m$ aus, sodass $I\le m$. Durch Induktion über $n$ wollen wir nun beweisen, dass jedes maximale Ideal von $k[x_1,\dots ,x_n]$ der Gestalt $⟨x_1-{\alpha }_1,\dots ,x_n-{\alpha }_n⟩$ für gewisse Konstanten ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in k$ ist; dann enthält ja $V(I)$ den Punkt $({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$. Es gilt $k[x_1,\dots ,x_n]=R[x_n]$ mit $R=k[x_1,\dots ,x_{n-1}]$. Nach dem Satz von Goldman‒Krull und Induktion über $n$ ist $R=k[x_1,\dots ,x_{n-1}]$ ein Gleichradikalring. Gemäß der Klassifikation der maximalen Ideale in einem Polynomring über einen Gleichradikalring ist $m$ von der Gestalt $m_0+⟨f⟩$, wobei $m_0=R\cap m$ maximal ist und $f$ ein Urbild via $R[x_n]\to R[x_n]/m_0[x_n]\cong (R/m_0)[x_n]$ eines irreduziblen Polynoms in $R/m_0[x_n]$ ist. Allerdings gilt nach Induktion über $n$, dass $m_0=⟨x_1-{\alpha }_1,\dots ,x_{n-1}-{\alpha }_{n-1}⟩$ und daher die kanonische Abbildung $k\to R/m_0$ ein Isomorphismus ist, da sie sich als Komposition von Isomorphismen

$k\to k[x_1,\dots ,x_{n-1}]/⟨x_1,\dots ,x_{n-1}⟩\to k[x_1,\dots ,x_{n-1}]/⟨x_1-{\alpha }_1,\dots ,x_{n-1}-{\alpha }_{n-1}⟩$

herausstellt, wobei der letztere Morphismus der Quotient von $x_j\mapsto x_j-{\alpha }_j$ ist. Daher können wir $f$ als ein irreduzibles Polynom aus $k[x]$ wählen. Da aber $k$ algebraisch abgeschlossen ist, ist $f$ linear, was die Behauptung beweist. $◻$

Satz (Hilbertscher Korrespondenzsatz):

Auf dem Gitter (bezügl. Inklusion) aller radikalen Ideale $I\le k[x_1,\dots ,x_n]$ (mit Schnitt und Summe von Idealen) definieren wir die Funktion

$I\mapsto V(I)$.

Dies ist ein ordnungsumkehrender Isomorphismus von Gittern (wobei auf algebraischen Mengen die mengentheoretische Gitterstruktur gegeben ist).

Dabei korrespondieren Primideale mit hyperzusammenhängenden algebraischen Mengen.