Die Hilbert-Korrespondenz

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Satz (Hilbertscher Nullstellensatz):

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein echtes Ideal. Dann ist nichtleer.

Beweis: Wir wählen ein maximales Ideal aus, sodass . Durch Induktion über wollen wir nun beweisen, dass jedes maximale Ideal von der Gestalt für gewisse Konstanten ist; dann enthält ja den Punkt . Es gilt mit . Nach dem Satz von Goldman‒Krull und Induktion über ist ein Gleichradikalring. Gemäß der Klassifikation der maximalen Ideale in einem Polynomring über einen Gleichradikalring ist von der Gestalt , wobei maximal ist und ein Urbild via eines irreduziblen Polynoms in ist. Allerdings gilt nach Induktion über , dass und daher die kanonische Abbildung ein Isomorphismus ist, da sie sich als Komposition von Isomorphismen

herausstellt, wobei der letztere Morphismus der Quotient von ist. Daher können wir als ein irreduzibles Polynom aus wählen. Da aber algebraisch abgeschlossen ist, ist linear, was die Behauptung beweist.

Satz (Hilbertscher Korrespondenzsatz):

Auf dem Gitter (bezügl. Inklusion) aller radikalen Ideale (mit Schnitt und Summe von Idealen) definieren wir die Funktion

.

Dies ist ein ordnungsumkehrender Isomorphismus von Gittern (wobei auf algebraischen Mengen die mengentheoretische Gitterstruktur gegeben ist).

Dabei korrespondieren Primideale mit hyperzusammenhängenden algebraischen Mengen.