Amateurfunklehrgang – Der Weg zur HB9-Lizenz/ Mathematik und Einheiten

Mathematik und Einheiten

Wir starten nicht bei Null, es wird vorausgesetzt, dass man einfache Formeln umstellen kann.

Präfixe

Die Präfixe im SI ^[1]
Symbol	Name	Potenz	Zahl
T	Tera	10¹²	1.000.000.000.000
G	Giga	10⁹	1.000.000.000
M	Mega	10⁶	1.000.000
k	Kilo	10³	1.000
h	Hekto	10²	100
da	Deka	10¹	10
—	—	10⁰	1
d	Dezi	10⁻¹	0,1
c	Zenti	10⁻²	0,01
m	Milli	10⁻³	0,001
μ	Mikro	10⁻⁶	0,000.001
n	Nano	10⁻⁹	0,000.000.001
p	Piko	10⁻¹²	0,000.000.000.001

Die Zeichen für Teile einer Einheit werden als Kleinbuchstaben geschrieben, während die meisten Zeichen für Vielfache einer Einheit als Grossbuchstaben geschrieben werden. Ausnahmen von dieser Systematik sind aus historischen Gründen die Zeichen für Deka (da), Hekto (h) und Kilo (k).

Einführung in das Rechnen mit Logarithmen

Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenzierung. Logarithmen sind eine Möglichkeit, mit grossen Zahlen einfacher zu rechnen. Sie basieren auf Potenzen einer bestimmten Basis, meist der Zehnerlogarithmus (logarithmus decadicus, kurz: $l o g$ oder der natürliche Logarithmus $l n$ , Basis $e$ .

Grundoperationen mit Logarithmen

Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenzierung:

$\log_{b} (a) = x ⟺ b^{x} = a$

Im Amateurfunk verwenden wir fast immer den Zehnerlogarithmus $l o g$ oder den natürlichen Logarithmus $l n$ :

$\log_{10} (1000) = 3, weil 1 0^{3} = 1000.$

Multiplikation

Ein Logarithmus wird mutlipliziert, in dem man die Logarithmen der Faktoren adiert.

$\log_{b} (A \cdot B) = \log_{b} (A) + \log_{b} (B)$

Beispiel:

$\log_{10} (100) + \log_{10} (10) = 2 + 1 = 3.$

Division

Ein Logarithmus wird dividiert, in dem man den Logarithmus des Divisors von Logarithmus des Dividenden subtrahiert:

$\log_{b} (\frac{A}{B}) = \log_{b} (A) - \log_{b} (B)$

Beispiel:

$\log_{10} (\frac{1000}{10}) = \log_{10} (1000) - \log_{10} (10) = 3 - 1 = 2.$

Potenzieren

Logarithmen werden potenziert, indem ihr Wert mit dem Exponenten multipliziert wird

$\log_{b} (A^{c}) = c \cdot \log_{b} (A)$

Beispiel:

$\log_{10} (1 0^{3}) = 3 \cdot \log_{10} (10)$ $L_{U}$

Umrechnung zwischen Logarithmus-Basen

Falls nötig, kann man den Logarithmus in eine andere Basis umrechnen:

$\log_{a} (B) = \frac{\log_{c} (B)}{\log_{c} (a)}$

Üblicherweise wird der Zehnerlogarithmus genutzt, um andere Basen umzurechnen.

Diese Regeln werden später beim Rechnen mit Spannung, Leistung und Dämpfung wichtig.

Spannung und S-Stufen im Amateurfunk

Im Amateurfunk spielt der logarithmische Zusammenhang zwischen Spannung, Leistung und Pegeln eine wichtige Rolle. Besonders bei der Bewertung von Signalen mit S-Stufen und der Berechnung von Dämpfungen oder Verstärkungen wird mit Logarithmen gerechnet.

Verhältnis von Spannungen

Da elektrische Spannung oft in einem grossen Bereich variiert, wird sie logarithmisch angegeben. Das Spannungsverhältnis wird mit dem dekadischen Logarithmus berechnet:

$L_{U} = 20 \cdot \log_{10} (\frac{U_{2}}{U_{1}})$

$L_{U}$ ist der Spannungspegel in Dezibel (dB).

$U_{1}, U_{2}$ sind die Spannungen.

Beispiel für Verstärkung

Eine Verdopplung der Spannung führt zu einem Pegelanstieg von:

$L_{U} = 20 \cdot \log_{10} (2) \approx 6,02 d B$

Das bedeutet, eine Verstärkung mit dem Faktor 2 entspricht etwa +6 dB.

Beispiel für Dämpfung

Wenn die Spannung auf die Hälfte sinkt:

$L_{U} = 20 \cdot \log_{10} (0,5) \approx - 6,02 d B$

Das bedeutet eine Dämpfung von etwa −6 dB.

S-Stufen und Signalstärken

m Funkverkehr wird die Signalstärke in S-Stufen angegeben. Jede Stufe entspricht einer Pegeländerung von 6 dB.

Umrechnung der S-Stufen

$S_{n} = S_{0} + 6 \cdot (n - 1) dB$

$S_{n}$ S-Stufe n

$S_{0}$ die Referenzstufe (z. B. S1 = −121 dBm bei Kurzwelle).

Beispiel für S-Stufen

Wenn ein Signal von S5 auf S7 steigt, entspricht das:

$S_{7} - S_{5} = 6 \cdot (7 - 5) = 12 d B$

Das entspricht einer Vervierfachung der Spannung.

S-Stufe	HF (dB)	HF (μV)	UHF (dB)	UHF (μV)	Bemerkung
9	-73	50.00	-93	5.00	Extrem stark, Referenzwert
8	-79	25.00	-99	2.50	Sehr stark
7	-85	12.50	-105	1.25	Stark
6	-91	6.25	-111	0.63	Etwas stärker
5	-97	3.13	-117	0.31	Durchschnittlich
4	-103	1.56	-123	0.16	Mässig
3	-109	0.78	-129	0.08	Noch schwach
2	-115	0.39	-135	0.04	Schwach
1	-121	0.20	-141	0.02	Sehr schwaches Signal
0	-127	0.10	-147	0.01

Logarithmen - dB

Das Dezibel (dB) wird in der Amateurfunktechnik verwendet, um Spannungs- und Leistungsverhältnisse zu beschreiben. Der logarithmischen Funktion begegnen wir zum Beispiel beim menschlichen Gehör: Dessen Empfindlichkeit ist logarithmisch und nicht linear ausgebildet.

Das Rechnen mit dB-Angaben hat zwei entscheidende Vorteile:

Übersichtlichkeit: Durch die logarithmische Darstellung werden extreme Zahlenverhältnisse klein und handhabbar. So entsprechen 20 dB einem Leistungsverhältnis von 100, 30 dB einem Verhältnis von 1000.

Einfache Verkettung: Wenn mehrere Verstärker oder Dämpfungsglieder

Falls der Pegel von S9 auf S6 sinkt:

$S_{6} - S_{9} = 6 \cdot (6 - 9) = - 18 d B$

Das bedeutet eine Reduzierung auf etwa 1/8 der ursprünglichen Spannung.

S-Stufe	HF (dB)	HF (μV)	UHF (dB)	UHF (μV)	Bemerkung
9	-73	50.00	-93	5.00	Extrem stark, Referenzwert
8	-79	25.00	-99	2.50	Sehr stark
7	-85	12.50	-105	1.25	Stark
6	-91	6.25	-111	0.63	Etwas stärker
5	-97	3.13	-117	0.31	Durchschnittlich
4	-103	1.56	-123	0.16	Mässig
3	-109	0.78	-129	0.08	Noch schwach
2	-115	0.39	-135	0.04	Schwach
1	-121	0.20	-141	0.02	Sehr schwaches Signal
0	-127	0.10	-147	0.01

Logarithmen - dB

Das Dezibel (dB) wird in der Amateurfunktechnik verwendet, um Spannungs- und Leistungsverhältnisse zu beschreiben. Der logarithmischen Funktion begegnen wir zum Beispiel beim menschlichen Gehör: Dessen Empfindlichkeit ist logarithmisch und nicht linear ausgebildet.

Das Rechnen mit dB-Angaben hat zwei entscheidende Vorteile:

Übersichtlichkeit: Durch die logarithmische Darstellung werden extreme Zahlenverhältnisse klein und handhabbar. So entsprechen 20 dB einem Leistungsverhältnis von 100, 30 dB einem Verhältnis von 1000.

Einfache Verkettung: Wenn mehrere Verstärker oder Dämpfungsglieder in Serie geschaltet werden, muss man im linearen Bereich die Faktoren multiplizieren. Im dB-Bereich reicht jedoch eine einfache Addition der dB-Werte.

Leistungspegel

Das Verhältnis von Ausgangsleistung P_aus zu Eingangsleistung P_ein bezeichnet man als Leistungsverstärkung (oft mit v abgekürzt). Da es sich um Leistung handelt, wird der Faktor 10 vor dem Logarithmus verwendet:

$v = 10 \cdot \lg (\frac{P_{a u s}}{P_{e i n}}) d B$

Beispiel Verstärkung: Ein Verstärker liefert eine Ausgangsleistung von 10 Watt (P_aus), wenn an seinem Eingang 1 Watt (P_ein) anliegt. Die Leistung wird um den Faktor 10 verstärkt (10 W / 1 W = 10). Rechnung: 10⋅lg(10) = 10dB

Beispiel Dämpfung: Ein Dämpfungsglied soll bei einer Eingangsleistung (P_ein) von 20 Watt eine Ausgangsleistung (P_aus) von 2.5 Watt liefern. Der Leistungsverstärkungsfaktor beträgt 2.5 / 20 = 0.125. Da der Faktor kleiner als 1 ist, liegt eine Dämpfung vor, was sich als negativer dB-Wert ausdrückt. Rechnung: 10⋅lg(0.125)=−9dB

Rechnen in einer Kette: Schalten wir den oben genannten Verstärker (Faktor 10) und das Dämpfungsglied (Faktor 0.125) in Serie, erhalten wir die gesamte Verstärkung durch Addition der dB-Werte: 10 dB + (-9 dB) = 1 dB

Gegenprobe (linear): 10 * 0.125 = 1.25. Rechnen wir 1.25 in dB um: 10⋅lg(1.25)≈1dB . Die Rechnung stimmt exakt.

Sonderfälle: Ein Faktor von 1 bedeutet, dass Ein- und Ausgangsleistung gleich sind. Das entspricht 0 dB. Faktoren unter 1 nennt man Dämpfungen (negative dB-Werte), Faktoren über 1 nennt man Verstärkung (positive dB-Werte)_aus.

Spannungspegel

Bei Spannungen gilt eine andere Formel als bei Leistungen. Hier wird der Faktor 20 vor dem Logarithmus verwendet (Voraussetzung: Eingangs- und Ausgangsimpedanz sind gleich, z.B. 50 Ohm):

$v = 20 \cdot \lg (\frac{U_{a u s}}{U_{e i n}}) d B$

Warum Faktor 20 und nicht 10? Die elektrische Leistung berechnet sich nach $P = {\frac{U}{R}}^{2}$ Wenn sich die Spannung verdoppelt, vervierfacht sich die Leistung. Der Faktor 20 im Logarithmus gleicht das Quadrat der Spannung im Leistungsgesetz aus.

Beispiel: Eine Spannung wird von 1 Volt auf 10 Volt verstärkt (Faktor 10). Rechnung: 20⋅lg(10)=20dB

(Zum Vergleich: Würde man fälschlicherweise die Leistungsformel mit 10 nehmen, käme man auf 10 dB. Da aber bei gleicher Impedanz aus 10V Spannung die 100-fache Leistung wird, müssen es 20 dB sein).

Absolute Pegel - dBm

Bisher haben wir nur Verhältnisse (dB) betrachtet. Wenn jemand sagt "Mein Verstärker hat 10 dB Gewinn", weiss man noch nicht, wie viel Watt am Ausgang wirklich ankommt. Um absolute Werte anzugeben, benötigt man einen festen Bezugswert. In der Hochfrequenztechnik ist das das dBm. Bei der Angabe in dBm geht man davon aus, dass die Bezugleistung exakt 1 mW beträgt.

Beispiel: Wir messen, dass ein Verstärker eine Ausgangsleistung von 3 dBm liefert. Rechnung:

$10 \cdot l g (\frac{P_{a u s}}{1 m W}) = (\frac{3 \cdot P_{a u s}}{1 m W}) = 1 0^{0.3} \approx 2$

Das entspricht einer tatsächlichen Leistung von 2 mW.

Impedanz: Damit dBm eindeutig ist, muss die Impedanz bekannt sein. In der Akustik bezieht sich dBm auf 600 Ohm, in der HF-Technik (und somit im Amateurfunk) fast immer auf 50 Ohm.

Eckwerte zum Merken:

dBm	Leistung
0 dBm	1 mW
10 dBm	10 mW
20 dBm	100 mW
30 dBm	1 W
40 dBm	10 W
50 dBm	100 W

+3 dB ≈ doppelte Leistung
−3 dB ≈ halbe Leistung

+6 dB ≈ doppelte Spannung
-6 dB ≈ halbe Spannung

↑ BIPM: The Internation System of Units (SI) SI Brochure

[BIPM_–_SI_prefixes-1] BIPM: The Internation System of Units (SI) SI Brochure

[1]