Amateurfunklehrgang – Der Weg zur HB9-Lizenz/ Mathematik und Einheiten

Mathematik und Einheiten

Wir starten nicht bei Null, es wird vorausgesetzt, dass man einfache Formeln umstellen kann.

Einführung in das Rechnen mit Logarithmen

Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenzierung. Logarithmen sind eine Möglichkeit, mit grossen Zahlen einfacher zu rechnen. Sie basieren auf Potenzen einer bestimmten Basis, meist der Zehnerlogarithmus (logarithmus decadicus, kurz: $log$ oder der natürliche Logarithmus $ln$ , Basis $e$.

Grundoperationen mit Logarithmen

Der Logarithmus ist die Umkehrung der Potenzierung:

$\log _{b}(a)=x\iff b^{x}=a$

Im Amateurfunk verwenden wir fast immer den Zehnerlogarithmus $log$ oder den natürlichen Logarithmus $ln$ :

$\log _{10}(1000)=3,\quad {\text{weil }}10^{3}=1000.$

Multiplikation

Ein Logarithmus wird mutlipliziert, in dem man die Logarithmen der Faktoren adiert.

$\log _{b}(A\cdot B)=\log _{b}(A)+\log _{b}(B)$

Beispiel:

$\log _{10}(100)+\log _{10}(10)=2+1=3.$

Division

Ein Logarithmus wird dividiert, in dem man den Logarithmus des Divisors von Logarithmus des Dividenden subtrahiert:

$\log _{b}\left({\frac {A}{B}}\right)=\log _{b}(A)-\log _{b}(B)$

Beispiel:

$\log _{10}\left({\frac {1000}{10}}\right)=\log _{10}(1000)-\log _{10}(10)=3-1=2.$

Potenzieren

Logarithmen werden potenziert, indem ihr Wert mit dem Exponenten multipliziert wird

$\log _{b}(A^{c})=c\cdot \log _{b}(A)$

Beispiel:

$\log _{10}(10^{3})=3\cdot \log _{10}(10)$$L_{U}$

Umrechnung zwischen Logarithmus-Basen

Falls nötig, kann man den Logarithmus in eine andere Basis umrechnen:

$\log _{a}(B)={\frac {\log _{c}(B)}{\log _{c}(a)}}$

Üblicherweise wird der Zehnerlogarithmus genutzt, um andere Basen umzurechnen.

Diese Regeln werden später beim Rechnen mit Spannung, Leistung und Dämpfung wichtig.

Spannung und S-Stufen im Amateurfunk

Im Amateurfunk spielt der logarithmische Zusammenhang zwischen Spannung, Leistung und Pegeln eine wichtige Rolle. Besonders bei der Bewertung von Signalen mit S-Stufen und der Berechnung von Dämpfungen oder Verstärkungen wird mit Logarithmen gerechnet.

Verhältnis von Spannungen

Da elektrische Spannung oft in einem grossen Bereich variiert, wird sie logarithmisch angegeben. Das Spannungsverhältnis wird mit dem dekadischen Logarithmus berechnet:

$L_{U}=20\cdot \log _{10}\left({\frac {U_{2}}{U_{1}}}\right)$

$L_{U}$ ist der Spannungspegel in Dezibel (dB).

$U_{1},U_{2}$ sind die Spannungen.

Beispiel für Verstärkung

Eine Verdopplung der Spannung führt zu einem Pegelanstieg von:

$L_{U}=20\cdot \log _{10}(2)\approx 6{,}02\;{dB}$

Das bedeutet, eine Verstärkung mit dem Faktor 2 entspricht etwa +6 dB.

Beispiel für Dämpfung

Wenn die Spannung auf die Hälfte sinkt:

$L_{U}=20\cdot \log _{10}(0{,}5)\approx -6{,}02\;{dB}$

Das bedeutet eine Dämpfung von etwa −6 dB.

S-Stufen und Signalstärken

m Funkverkehr wird die Signalstärke in S-Stufen angegeben. Jede Stufe entspricht einer Pegeländerung von 6 dB.

Umrechnung der S-Stufen

$S_{n}=S_{0}+6\cdot (n-1){\text{ dB}}$

$S_{n}$ S-Stufe n

$S_{0}$ die Referenzstufe (z. B. S1 = −121 dBm bei Kurzwelle).

Beispiel für S-Stufen

Wenn ein Signal von S5 auf S7 steigt, entspricht das:

$S_{7}-S_{5}=6\cdot (7-5)=12\;{dB}$

Das entspricht einer Vervierfachung der Spannung.

Falls der Pegel von S9 auf S6 sinkt:

$S_{6}-S_{9}=6\cdot (6-9)=-18\;{dB}$

Das bedeutet eine Reduzierung auf etwa 1/8 der ursprünglichen Spannung.

Achtung, Tabelle für UKW nicht korrekt...

S-Stufen nach IARU für KW (HF) und UKW (VHF/UHF)

S-Stufe	Feldstärke HF (50 Ohm)	Feldstärke UKW (geschätzt)	dB über S1 (HF)	Bemerkung
S1	0,2 µV	ca. 0,2 µV	0 dB	Sehr schwaches Signal
S2	0,4 µV	ca. 0,4 µV	+6 dB	Schwach
S3	0,8 µV	ca. 0,8 µV	+12 dB	Noch schwach
S4	1,6 µV	ca. 1,6 µV	+18 dB	Mäßig
S5	3,2 µV	ca. 3,2 µV	+24 dB	Durchschnittlich
S6	6,3 µV	ca. 6,3 µV	+30 dB	Etwas stärker
S7	12,5 µV	ca. 12,5 µV	+36 dB	Stark
S8	25 µV	ca. 25 µV	+42 dB	Sehr stark
S9	50 µV	ca. 50 µV	+48 dB	Extrem stark, Referenzwert
S9 +10 dB	–	–	+58 dB	10 dB über S9
S9 +20 dB	–	–	+68 dB	20 dB über S9
S9 +30 dB	–	–	+78 dB	30 dB über S9

Leistungspegel

(noch chaos...)

Das dB (Dezibel) wird in der Amateurfunktechnik verwendet um Spannungs- und Leistungverhältnisse zu beschreiben. Der logarithmischen Funktion Begegnen wir zum Beispiel beim Menschlichen Gehör, die Empfindlichkeit ist logarithmisch und nicht linear ausgebildet. Auch bei Verstärker bedeutet eine eine Verdoppelung der Leistung einen Gewinn von 3 dB. Bei gleichen Eingang- und Ausgangsimpedanzen entspricht dies einer Spannungsverstärkung von etwa 1,413. Diese Einheit hat den Vorteil, dass es sich bei der Angabe in dB die Angabe entfällt, ob es sich um ein Verhältnis von den Leistungen oder Spannungen handelt.

Leistungsverstärkung: Das Verhältnis Ausgangsleistung P_aus zu Eingangsleistung P_ein bezeichnet man als Leistungsverstärkung (v).

$v=10\,\lg {\frac {P_{aus}}{P_{ein}}}\,\mathrm {dB}$

Beispiel Verstärkung: Ein Verstärker liefert eine Ausgangsleistung von 10 Watt P_aus, wenn dazu an seinem Eingang eine Leistung von 1 Watt P_ein geliefert wird. Die Leistung wird um den Faktor 10 verstärkt (10W / 1W = 10) 10 verstärkt.

Beispiel Dämpfung: Ein Dämpfungsglied soll bei einer Eingangsleistung P_ein von 20 Watt eine Ausgangsleistung P_ein von 2.5 Watt liefern. Der Leistungsverstärkungsfaktor würde dann 2.5 / 20 = 0.125 betragen. Es liegt eine Dämpfung vor weil der Faktor kleiner als 1 ist.

Schalten wir den Verstärker und das Dämpfungsglied in Serie erhalten wir die gesamte Verstärkung durch die Multiplikation der errechneten Faktoren. In unserem Falle wären dies 10*0.125 = 1.25

Das Dezibel (dB): Leistungsfaktoren werden oft in Dezibel (dB) angeführt. Dazu wird folgende Formel verwendet:

$v=10\,\lg {\frac {P_{aus}}{P_{ein}}}\,\mathrm {dB}$

Das Rechnen mit dB-Angaben hat zwei Vorteile:

1. Die Zahlenangaben werden durch die logarithmische Darstellung nicht so gross: So entsprechen 20 dB einem Faktor von 100. 30 db entsprechen einem Faktor von 1000. Zum Merken: 3 dB entsprechen einer Verdoppelung der Leistung, 6 dB einer Vervierfachung.

2. Addition von db-Angaben: Die Leistungsverstärkungs-Angaben mussten wir in unserem Beispiel multiplizieren. Wenn wir mit dB rechnen, müssen wir die dB-Werte nur addieren. Sie können dies nachprüfen, indem Sie die beiden Faktoren 10 und 0.125 in dB-Werte umrechnen und addieren:

x dB - y dB = zdB.

zdB entspricht aber einem Leistungs-Verstärkungsfaktor von uuu, wie die Gegenprobe zeigt.

Dämpfung: Leistungsverstärkungs-Faktoren unter 1 nennt man Dämpfungen, weil ja in diesem Fall das Signal nicht verstärkt sondern abgeschwächt wird. Dämpfungen drücken sich dann als negative dB-Werte aus. Ein Sonderfall ist die Verstärkung mit dem Faktor 1. Dies bedeutet, dass die Eingangsleistung gleich der Ausgangsleistung ist und entspricht einer Verstärkung von 0 dB.

Pegel - dBm: Leistungsverhältnisse und dB geben nur Auskunft über das Verhältnis zweier Werte. Den tatsächlichen Wert in Volt, Ampere oder Watt kennt man dadurch aber nicht.

Mit Pegel-Angaben kann man aber den tatsächlichen Wert in Watt (oder mW) ermitteln. Dazu muss man sich für die Eingangsleistung auf einen festen Bezugswert einigen.

dBm: Bei der Angabe in dBm geht man davon aus, dass die Eingangsleistung 1mW beträgt.

Beispiel:

Ein Verstärker hat einen Verstärkungsfaktor von 3 dBm. Wie gross ist die Ausgangsleitung in mW?

Wir messen, dass ein Verstärker eine Leistung von 3 dBm liefert. Das entspricht einer Leistung von 2 mW.

Das dbm bezieht sich in der Akustik auf 600 Ohm Impedanz und in der HF-Technik auf meistens 50 Ohm.