Analysis: Alternative Herleitung über die Analysis der endlichen Differenzen

Analysis

Endlicher Fall

Es sei die Reihe gegeben:

$2,5,10,17,26$

Der n-te Term dieser Reihe ist gegeben durch $n^{2}+1$ Nun wie sehen jeweils die Differenzen der jeweiligen Terme aus?

$5-2=3$

$10-5=5$

$17-10=7$

$26-17=9$

Diese Werte berechnete man in dem man die "differenz" der Terme nimmt. Als Formel ausgedrückt:

$\Delta A_{n}=A_{n+1}-A_{n}$

Für jede Sequenz $A_{n}$. Beispiele:

$\Delta 1=0$

$\Delta n=(n+1)-n=1$

$\Delta n^{2}=(n+1)^{2}+n^{2}=2n+1$

$\Delta n^{3}=3n^{2}+3n+1$

$\Delta {\frac {1}{n}}=-{\frac {1}{n(n+1)}}$

Diese Operation hat nun folgende Eigenschaften:

$A_{n}+\Delta A_{n}=A_{n+1}$

$\Delta (A+B)=\Delta A+\Delta B$

$\Delta cA=c\Delta A$

Der Operator $\Delta$ ist Linear. Weiter gibt es die Produktregel:

$\Delta (AB)=A\Delta B+B\Delta A+\Delta A\Delta B$

$\Delta (AB)_{n}=A_{n+1}\Delta B_{n}+B_{n}\Delta A_{n}$

Beispiele:

$\Delta (n^{2}-n)=(2n+1-1)=2n$

$\Delta (n^{2}2^{n})=(2n+1)2^{n+1}+n^{2}2^{n}=(n^{2}+4n+2)2^{n}$

Eine gute Übung ist es die mit den üblichen bekannten Funktionen durchzuführen. Nun ist das wichtigste Resultat das fundamentale Theorem der abgeleiteten Sequenzen. Die Summe der abgeleiteten Sequenzen kann durch die ursprüngliche Sequenz gefunden werden.

$\sum \limits _{k=a}^{b}\Delta A_{k}=A_{b+1}-A_{a}$

Durch diese erstaunliche Formel kann man nun eine Summationsformel für jede Sequenz herleiten

$\sum \limits _{n=a}^{b}(2n+1)=(b+1)^{2}-a^{2}$

$\sum \limits _{n=a}^{b}(2n)=2\sum \limits _{k=a}^{b}n=b(b+1)-a(a-1)$

$\sum \limits _{n=a}^{b}2^{n}=22^{b+1}-2^{a}$

Nun ist die zweite Differenz definiert als die differenz der differenzen:

$\Delta ^{2}A_{n}=\Delta \Delta A_{n}=(A_{n+2}-2A_{n+1}+A_{n})$

So das:

$\Delta A_{n}+\Delta ^{2}A_{n}=\Delta A_{n+1}$

Dies besagt:

$A_{n+2}=A_{n}+\Delta A_{n}+\Delta A_{n+1}=A_{n}+2\Delta A_{n}+\Delta ^{2}A_{n}$

Und so weiter für die dritte differenz usw.

Man kann beweisen das wenn zwei Sequenzen:

$A_{0},\Delta A_{0},\Delta ^{2}A_{0},\Delta ^{3}A_{0},...$

gleich haben, dann sind die zwei Sequenzen gleich weil beide nur gleich sein können wenn die ersten n-Terme gleich sind.

Infinitesimaler Fall

Es sei eine Sequenz nun nicht nur an den Punkten 1,2,3 usw. definiert, sondern an einem feinen Gitter wobei die einzelnen Punkte $\epsilon$ zwischen einander entfernt liegen, so das der n-te Punkte sich bei $n\epsilon$ befindet. Alle vorherigen Ideen lassen sich nun leicht übertragen, alles was man machen muss ist nur eine reskalierung um die Länge $\epsilon$. In diesem Fall wird die Sequenz $A(n)$ zu einer Funktion $A(x)$ definiert an allen x Werten. Die abgeleitete Sequenz ist nun gegeben durch

$\Delta _{\epsilon }A=A(x+\epsilon )-A(x)$

Beispiel:

$\Delta _{\epsilon }x^{2}=(x+\epsilon )^{2}-x^{2}=2x\epsilon +\epsilon ^{2}$

Was nur eine reskalierte Version der endlichen Version von $n^{2}$ ist. Der Punkt ist nun das wenn $\epsilon$ klein ist, und $\epsilon$ zwei mal kleiner gemacht wird, dann ist auch die abgeleitete Sequenz zwei mal so klein. Es liegt also eine lineare Abhängigkeit vor. Somit kann man schreiben

${\frac {df}{dx}}={\frac {\Delta f}{\epsilon }}={\frac {\Delta f}{\Delta x}}$

Beispiel:

$\Delta _{\epsilon }{\frac {1}{x}}={\frac {1}{(x+\epsilon )}}-{\frac {1}{x}}={\frac {x}{x+\epsilon }}-{\frac {(x+\epsilon )}{(x+\epsilon )x}}=-{\frac {\epsilon }{(x+\epsilon )x}}$

Geteilt durch $\epsilon$

${\frac {\Delta _{\epsilon }}{\epsilon }}{\frac {1}{x}}=-{\frac {1}{(x+\epsilon )x}}=-{\frac {1}{x^{2}}}$

Die Idee ist hier das $\epsilon$ so klein wird, das die Ableitung sich nicht mehr verändert. Formal wird es zu einer Prozedur. Etwas das man durch $\epsilon$ berechnen kann wird infinitesimal als das Limit beschreiben bei dem $\epsilon$ immer kleiner wird. Die infinitesimale Einheit wird nun mit $dx$ bezeichnet, was eine "rundere" Version von $\Delta A$ darstellt. Die Ableitung kann nun berechnet werden von den endlichen Differenzen:

${\frac {dx^{2}}{dx}}=2x+dx=2x$

Die zweite Ableitung ist die differenz der differenz:

$f^{''}(x)={\frac {f(x+\epsilon )-2f(x)+f(x-\epsilon )}{\epsilon ^{2}}}$

Dadurch kann man auch die dritte Differenz definieren und so weiter.

Die Eigenschaften der endlichen Differenzen übertragen sich nur simpel:

${\frac {d}{dx}}(f+g)=f^{'}+g^{'}$

${\frac {d}{dx}}(fg)=f^{'}g+fg^{'}$

Die Kettenregel ist eine Regel für hintereinander ausgeführte Funktionen

$f(g(n+1))=f(g(n)+\Delta g)$

Für endliche Sequenzen stimmt dies nicht. Aber im infinitesimalen Fall

$f(g(x+\epsilon ))=f(g(x)+g^{'}(x)\epsilon )=f(g(x))+f^{'}(g(x))g^{'}(x)\epsilon$

Beispiel:

${\frac {1}{x^{n}}}=-{\frac {1}{(x^{n})^{2}}}nx^{n-1}=-{\frac {n}{x^{n+1}}}$

Weiter hin ist das Integral:

$\int _{a}^{b}\ f^{'}(x)\,dx=f(b)-f(a)$

Das Integral bedeutet einfach

$\int _{}^{}\!f(x)\,dx=\sum \limits _{x}^{}f(x)\epsilon$

Die Summe über $x$ zwischen dem Interval $a$ und $b$ in $\epsilon$ kleinen Schritten.

Die Summen für analytische Funktionen können über die Gregory Reihe, oder auch Taylor Reihe genannt, bewiesen werden genau so für inverse Funktionen.