Analysis: Die reellen Zahlen: Supremumseigenschaft

Analysis

Auch die Anordnungsaxiome reichen noch nicht zur eindeutigen Bestimmung des Körpers der reellen Zahlen aus, denn auch die rationalen Zahlen bilden bereits einen angeordneten Körper. Es gibt mehrere Möglichkeiten, an diesem Punkt fortzufahren: Meistens werden noch das Archimedische Axiom und das Vollständigkeitsaxiom gefordert. Dazu wäre es aber erforderlich, vorher Folgen und insbesondere Cauchy-Folgen zu definieren. Schneller und eventuell eleganter ist es, die zu diesen beiden Axiomen äquivalente Supremumseigenschaft zu fordern. Auch hierzu werden allerdings ein paar Definitionen benötigt:

Definition: Eine Teilmenge $A\subset K$ eines angeordneten Körpers $K$ heißt nach oben beschränkt, falls es ein $x\in K$ gibt, so dass $\forall _{a\in A}:a\leq x$. Dann heißt $x$ obere Schranke von $A$. Die kleinste obere Schranke von $A$ heißt (falls sie existiert) Supremum von $A$.

Analog definiert man die Begriffe untere Schranke und Infimum (als größte untere Schranke).

Definition: Ein angeordneter Körper hat die Supremumseigenschaft, falls jede nach oben beschränkte Teilmenge ein Supremum hat.

Es existiert bis auf Isomorphie nur ein angeordneter Körper mit der Supremumseigenschaft: der Körper der reellen Zahlen $\left(\mathbb {R} ,+,\cdot ,0,1\right)$.