Analysis: Differentialgleichungen

Differentialgleichungen (kurz DGLn) sind Gleichungen, in denen außer den Funktionen auch Differentiale von diesen vorkommen. Als Lösung einer Differentialgleichung ermittelt man keinen einzelnen Zahlenwert (wie bei algebraischen Gleichungen), sondern eine Funktion. Dabei gilt eine DGL als gelöst, wenn sie auf ein Integral zurückgeführt worden ist.

Einführendes Beispiel

Die Gleichung $y'=y\,$ macht im Gegensatz zu den bisherigen neue Probleme. Es handelt sich um eine sogenannte Differentialgleichung (kurz DGL). Die Lösung dieser ist auch keine Zahl, sondern eine Funktion.

Man gehe erst einmal davon aus, dass die Funktion y an keiner Stelle verschwindet und formt um zu $y'/y=1\,$ .

Die Integration beider Seiten, und die Anwendung der Substitutionsregel bringt

\int _{y(a)}^{y}{\frac {\mathrm {d} y}{y}}=x-a

.

Somit ist

\ln |y|=x-a+\ln |y(a)|\,

.

Die Anwendung der Exponentialfunktion führt dann auf

y=\mathrm {sgn} (y)|y(a)|\mathrm {e} ^{-a}\mathrm {e} ^{x}\,

.

Verlangt man nun, dass y an keiner Stelle verschwindet, so kann es keine Nullstelle geben. Die Funktion ist entweder an jeder Stelle negativ, oder an jeder Stelle positiv. Daher ist

\mathrm {sgn} (y)|y(a)|=\mathrm {sgn} (y(a))|y(a)|=y(a)\,

.

Die Lösung der Gleichung ist damit

y=y(a)\mathrm {e} ^{-a}\mathrm {e} ^{x}\,

.

Lineare Gleichungen

Die zuvor diskutierte DGL hat eine besondere Eigenschaft. Um diese zu erklären ist es notwendig erst einmal alles auf eine Seite der Gleichung zu bringen. Es ist somit $y'-y=0\,$ .

Nun lässt sich diese Gleichung schreiben als

\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-1\right)y=0

.

Allgemein heißt eine DGL linear, falls sie die Form

D(y)=g(x)\,

hat, wobei D ein linearer Operator ist. Die Funktion g wird auch Störfunktion genannt. Gibt es diese Funktion nicht, das bedeutet $g=0\,$ , so heißt die Gleichung homogen.

Der lineare Operator lässt sich intuitiv schreiben als

D=\sum _{i=0}^{n}a_{i}(x)\left({\frac {d}{dx}}\right)^{i}

.

Einfache Integrations-Probleme

Die Ableitung einer Funktion ist bekannt. Gesucht ist die Funktion selbst. Es handelt sich um ein sehr einfaches Problem. Sei $y'=f(x)\,$ . Die Integration beider Seiten ist zunächst einmal

\int _{a}^{x}y'\mathrm {d} x=\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} x

.

Die Verwendung der Substitutionsregel bringt

\int _{a}^{x}y'\mathrm {d} x=\int _{y(a)}^{y(x)}dy=y(x)-y(a)

.

Daher ist

y=\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} x+y(a)

eine Lösung des Problems.

Um eine Funktion festzulegen, muss ein Punkt $(a,y(a))\,$ angegeben sein. Dies wird auch Anfangswert-Problem genannt.

Ein Beispiel aus der Physik ist die gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Bei dieser ist die Beschleunigung $s''(t)=v'(t)=a\,$ eine Konstante. Es ist dann

v=\int _{0}^{t}a\,\mathrm {d} t+v_{0}=at+v_{0}

.

Der Leser möge zur Übung s bestimmen.

Separable Gleichungen

Zu lösen ist eine DGL der Form $y'=f(x)g(y)\,$ . Dabei sei g zunächst einmal eine Funktion, die nirgendwo verschwindet. Teilen durch g(y), anschließende Integration und Verwendung der Substitutionsregel führt auf

\int _{y(a)}^{y}{\frac {\mathrm {d} y}{g(y)}}=\int _{a}^{x}f(x)\,\mathrm {d} x

.

Wenn g nicht verschwindet, tut es auch der Kehrwert nicht. Es gibt außerdem keine Polstellen. Das Ergebnis des linken Integrals ist daher eine streng monotone Funktion. Das heißt, diese Funktion ist injektiv und man sollte nach $y$ umformen können. Dann wäre das Problem gelöst.

Ein Beispiel dazu. Sei $y'=2xe^{-y}\,$ eine solche DGL und $(a,y(a))=(0,0)\,$ ein Punkt, durch den die Lösung verlaufen soll. Das beschriebene Vorgehen verschafft uns