Analysis: Folgen und Reihen: Folgen

Folgen

Ordnet man den natürlichen Zahlen ( $ℕ = {1, 2, 3, \dots}$ ) durch irgendeine Vorschrift je eine reelle Zahl zu, so entsteht eine Zahlenfolge $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ . Die Zuweisung $n \mapsto a_{n}$ definiert eine Funktion:

1	2	3	4	5	... (natürliche Zahlen)
$↓$	$↓$	$↓$	$↓$	$↓$
$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{4}$	$a_{5}$	... (reelle Zahlen)

Definition

Sei $ℐ$ eine unendliche Teilmenge von $ℕ$ und $𝒳$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die Abbildung: $a : ℐ \to 𝒳$ eine Folge.

Die Elemente $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ heißen Folgenglieder oder Glieder.
Das Element $a_{0}$ (oder manchmal auch $a_{1}$ ) heißt Anfangsglied einer Folge.

Darstellungen

Meistens werden Folgen in der Form $(𝐚)_{𝐧}$ oder $(𝐚_{𝐧})_{𝐧}$ geschrieben
Manchmal werden auch nur die ersten Folgenglieder angegeben

Beispiele

Mit ${(\frac{1}{n})}_{n \in ℕ}$ oder $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ wird die Abbildung $f : ℕ \to ℝ, n \mapsto \frac{1}{n}$ bezeichnet.
Durch $a_{0} := 1$ , $a_{1} := 1$ und $a_{n + 2} := a_{n + 1} + a_{n}$ wird die Folge $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ der Fibonacci-Zahlen definiert. (Rekursive Definition)