Analysis: Folgen und Reihen: Folgen

Analysis

Folgen

Ordnet man den natürlichen Zahlen ($\mathbb {N} =\lbrace 1,2,3,\ldots \rbrace$) durch irgendeine Vorschrift je eine reelle Zahl zu, so entsteht eine Zahlenfolge $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$. Die Zuweisung $n\mapsto a_{n}$ definiert eine Funktion:

1	2	3	4	5	... (natürliche Zahlen)
$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$
$a_{1}$	$a_{2}$	$a_{3}$	$a_{4}$	$a_{5}$	... (reelle Zahlen)

Definition

Sei ${\mathcal {I}}$ eine unendliche Teilmenge von $\mathbb {N}$ und ${\mathcal {X}}$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die Abbildung: $a:{\mathcal {I}}\rightarrow {\mathcal {X}}$ eine Folge.

• Die Elemente $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ heißen Folgenglieder oder Glieder.
• Das Element $a_{0}$ (oder manchmal auch $a_{1}$) heißt Anfangsglied einer Folge.

Darstellungen

• Meistens werden Folgen in der Form $(\mathbf {a} )_{\mathbf {n} }$ oder $(\mathbf {a} _{\mathbf {n} })_{\mathbf {n} }$geschrieben
• Manchmal werden auch nur die ersten Folgenglieder angegeben

Beispiele

• Mit $\left({\frac {1}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ oder $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots$ wird die Abbildung $f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ,n\mapsto {\frac {1}{n}}$ bezeichnet.
• Durch $a_{0}:=1$, $a_{1}:=1$ und $a_{n+2}:=a_{n+1}+a_{n}$ wird die Folge $1,1,2,3,5,8,13,\ldots$ der Fibonacci-Zahlen definiert. (Rekursive Definition)