Analysis: Hauptsatz

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Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung[Bearbeiten]

Die Hauptsätze (oder: Fundamentalsätze) der Differential- und Integralrechnung beschreiben den Zusammenhang zwischen Differentiation und Integration.

  • Sei eine auf Riemann-integrierbare Funktion und eine Stammfunktion von . Dann gilt
Kennt man also eine Stammfunktion des Integranden, so kann man das Integral mit deren Hilfe einfach berechnen. Dieser Hauptsatz ist die Quelle der Integrationsregeln, da man Differentiationsregeln (Produktregel, Kettenregel) nun in Integrationsregeln (partielle Integration, Substitutionsregel) überführen kann.
  • Sei eine stetige Funktion. Dann ist die Funktion
eine Stammfunktion von , d. h., ist stetig differenzierbar mit für alle .

Partielle Integration[Bearbeiten]

Seien zwei stetig differenzierbare Funktionen. Dann gilt nach der Produktregel

Da eine Stammfunktion von ist, folgt aus dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Nun sind und beides stetige, also Riemann-integrierbare Funktionen. Daher darf die Linearität des Riemann-Integrals angewandt werden, und man erhält daraus die Regel der partiellen Integration:

Substitutionsregel[Bearbeiten]

Sei eine stetig differenzierbare Funktion und stetig. Es sei weiter eine (nach dem zweiten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung existierende) Stammfunktion. Dann gilt nach der Kettenregel

Da eine Stammfunktion von ist, folgt aus dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Da eine Stammfunktion von ist, folgt aus dem ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Somit gilt die Substitutionsregel