Analysis: Kurvendiskussion

Analysis

Unter einer Kurvendisskusion versteht man das vollständige Analysieren einer Funktion oder einer Kurvenschar.

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Bei einer Kurvendisskusion wird die Funktion/Kurvenschar auf Symmetrie zur y-Achse oder zum Koordinatenursprung, Grenzwerte, Nullstellen, Monotonie mit Hoch-, Tief- oder Sattelpunkten, Wendepunkte und Polstellen untersucht.

Symmetrie einer Funktion

Um die Symmetrie zu berechnen setzt man anstelle von x den Wert -x ein. Wenn das Ergebnis gleich -f(x) ist liegt Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung vor. Ist das Ergebnis gleich f(x) so liegt Achsialsymmetrie vor. Trifft keines der beiden zu kann die Funktion aber immer noch symmetrisch sein zum Beispiel zu einem anderen Punkt, oder zu einer Parallelen der y-Achse.

Beispiel 1:

Gegeben ist die Funktion

$f(x)={\frac {1}{2}}x^{2}-3$.

Für x setzt man nun -x ein, also

$f(-x)={\frac {1}{2}}(-x)^{2}-3={\frac {1}{2}}x^{2}-3=f(x)$

Damit haben wir gezeigt, dass die Funktion $f(x)$ (bzw. das Schaubild der Funktion) symmetrisch zur y-Achse ist.

Beispiel 2:

Gegeben ist die Funktion

$f(x)={\frac {x^{2}}{x^{3}-2x}}$.

Für x nun -x einsetzen ...

$f(-x)={\frac {(-x)^{2}}{(-x)^{3}-2(-x}}={\frac {x^{2}}{-x^{3}+2x}}={\frac {x^{2}}{-(x^{3}-2x)}}=-{\frac {x^{2}}{x^{3}-2x}}=-f(x)$

Also ist die Funktion $f(x)$ (bzw. das Schaubild der Funktion) punktsymmetrisch zum Ursprung.

Grenzwerte

Unter einem Grenzwert versteht man das Verhalten einer Funktion für den Fall, dass x entweder immer größer oder immer kleiner wird. Zur Berechnung der Grenzwerte setzt man am Besten drei größere Zahlen (z.B. 100, 1.000 und 10.000) in die Funktionsgleichung ein und guckt, ob das Ergebnis immer größer oder kleiner wird.

Beispiel 1:

Gegeben ist die Funktion

$\ f(x)=x^{3}-x^{2}$

Die Grenzwerte lauten:

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty$

Beispiel 2:

Gegeben ist die Funktion

$\ f(x)=e^{x}$

Die Grenzwerte lauten:

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=0$

Nullstellen

Zur Berechnung der Nullstellen einer Funktion setzt man diese gleich Null. Die Werte, die beim Auflösen nach x rauskommen, sind die Nullstellen.

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion

$f(x)={\frac {1}{2}}x^{2}-8$

Diese setzt man nun gleich 0:

$0={\frac {1}{2}}x^{2}-8$

Als Lösung erhält man x₁=4 und x₂=-4. Die Nullstellen lauten also N₁(4|0) und N₂(-4|0).

Extremstellen

Die Extremstellen sind die Hoch- bzw. Tiefpunkte einer Funktion. Man berechnet sie, indem man die 1. Ableitung einer Funktion mit 0 gleichsetzt. Erhält man ein Ergebnis, setzt man dieses in die 2. Ableitung ein, um zu überprüfen, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. Ist das Ergebnis beim Einsetzen in die 2. Ableitung positiv, so handelt es sich um ein lokales Minimum, ist es negativ, handelt es sich um ein lokales Maximum.

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion

$f(x)={\frac {1}{3}}x^{3}+4x^{2}-9x-4$

Die 1. Ableitung lautet:

$\ f'(x)=x^{2}+8x-9$

Setzt man sie gleich Null, erhält man x₁=1 und x₂=-9. Diese x-Werte in setzt man in die 2. Ableitung ein, welche lautet:

$\ f''(x)=2x+8$

Man erhält für x=1 das Ergebnis 10. Anhand dessen lässt sich sagen, dass die Funktion ein lokales Minimum T(1|-8,6) hat. Für x=-9 erhält man -10. Somit hat die Funktion auch ein lokales Maximum H(-9|158).

Wendestellen

Zur Berechnung der Wendestellen muss man die 2. Ableitung einer Funktion mit 0 gleichsetzen. Das erhaltene Ergebnis setzt man in die 3. Ableitung ein. Erhält man dabei eine Zahl, die ungleich 0 ist, handelt es sich um eine Wendestelle.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion

$\ f(x)=x^{3}+4x-7$

Die Ableitungen lauten:

$\ f'(x)=3x^{2}+4$
$\ f''(x)=6x$
$\ f'''(x)=6$

Setzt man die 2. Ableitung gleich Null, erhält man x=0. Setzt man dies in die 3. Ableitung ein, erhält man 6. Somit lautet der Wendepunkt W(0|-7).

Polstellen

Polstellen treten nur bei gebrochenrationalen Funktionen auf. Es sind Definitionslücken. Es gibt 2 Arten von Polstellen: Die echten Polstellen und die behebbaren Definitionslücken.

Polstellen

Eine Polstelle errechnet man, indem man den Nenner eines Bruchs mit 0 gleichsetzt. Hat man die Polstelle errechnet, muss man sie auf Vorzeichenwechsel (VZW) überprüfen. Dafür bildet man den links- und den rechts-limes an der Polstelle.

Beispiel 1:

Gegeben ist die Funktion

$f(x)={\frac {1}{x^{2}-1}}$

Der Nenner wird für x = 1 und x = -1 Null, also ist die Polstelle bei 1 und -1.

Überprüfung auf VZW bei x = 1:

$l-\lim _{x\to 1}f(x)=-\infty$

$r-\lim _{x\to 1}f(x)=\infty$

Es ist also eine Polstelle bei x = 1 mit VZW.

Überprüfung auf VZW bei x = -1 ist analog wie bei x = 1.

Beispiel 2:

Gegeben ist die Funktion

$f(x)={\frac {1}{x^{2}}}$

Die Polstelle ist 0.

Überprüfung auf VZW:

$l-\lim _{x\to 0}f(x)=\infty$

$r-\lim _{x\to 0}f(x)=\infty$

Hier liegt also kein VZW vor.

Behebbare Definitionslücken

Eine behebbare Definitionslücke lässt sich durch verändern des Bruchs -wie der Name schon sagt- beheben.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion

$f(x)={\frac {(x+1)^{2}}{x+1}}$

Die Funktion ist für -1 nicht definiert, da in dem Fall der Nenner 0 wäre. Kürzt man diesen Bruch nun, so erhält man die Funktion

$\ f(x)=x+1$

Diese Funktion hat keine Definitionslücke mehr, sie ist also behoben.