Analysis: Metrik und Topologie: Topologische Räume

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Ein paar Grundlagen der Topologie werden es uns erlauben, bestimmte Sachverhalte aus der Analysis in einem allgemeineren Rahmen zu formulieren.

Topologische Räume[Bearbeiten]

Definition: Sei eine beliebige Menge und eine Menge von Teilmengen von . Das Tupel heißt topologischer Raum mit der Topologie , wenn gilt:

(enthält die leere Menge und den ganzen Raum)
Abgeschlossenheit unter beliebiger Vereinigung:
Abgeschlossenheit unter endlicher Durchschnittsbildung:

Die Elemente von heißen offene Mengen und ihre Komplemente abgeschlossene Mengen. Jedes , das enthält, heißt Umgebung von .

Abgeschlossene Mengen[Bearbeiten]

Offensichtlich hat die Menge der abgeschlossenen Mengen die zur Definition dualen Eigenschaften:

(enthält die leere Menge und den ganzen Raum)
Abgeschlossenheit unter beliebiger Durchschnittsbildung:
Abgeschlossenheit unter endlicher Vereinigung:

Hausdorff-Räume[Bearbeiten]

Definition: Ein topologischer Raum, in dem zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten immer disjunkte offene Umgebungen existieren, heißt Hausdorff-Raum. In einem Hausdorff-Raum gilt also: .

Beispiele[Bearbeiten]

Zu einer beliebigen Menge gibt es immer die diskrete Topologie , in der jede Menge zugleich offen und abgeschlossen ist, und die indiskrete Topologie , in der keine Menge außer der leeren und dem ganzen Raum offen oder abgeschlossen ist. Mit ersterer bildet einen Hausdorff-Raum, mit zweiterer nicht (sofern mindestens zwei Elemente besitzt).