Analysis: Nullstellenbestimmung

Nullstellen

Unter den Nullstellen einer reellen Funktion versteht man die x-Werte von gemeinsamen Punkten der Funktion mit der X-Achse (Abszisse) Hierfür definiert man ganz allgemein, dass $f(x)=0$ gelten muss.

Anzahl der vorkommenden Nullstellen

Die (maximale) Anzahl der Nullstellen hängt vom Grad der Funktion ab, welcher sich aus der höchsten vorkommenden Potenz bestimmt. So hat beispielsweise die Funktion $g(x)=x^{2}+2$ den Grad 2, weil die höchste Potenz eine Zwei ist. Aus dem Grad kann man die maximale Anzahl der Nullstellen bestimmen - diese entspricht immer dem Grad. So hat die Funktion $g(x)=x^{2}+2$ zwei Nullstellen. Manche Nullstellen können auf derselben Stelle "liegen". Man spricht dann von mehrfachen Nullstellen. Beispiel: $h(x)=x^{2}=0$ hat zwei Nullstellen die jeweils bei $x=0$ . Diese wird als zweifache oder doppelte Nullstelle bezeichnet. $f(x)=x^{3}$ hat eine dreifache Nullstelle bei $x=0$ .

Bestimmen der Nullstellen bei ganzrationalen Funktionen (Polynomen)

Die Nullstellen werden entweder durch das Lösen der Gleichung $f(x)=0$ berechnet oder durch Näherungsverfahren - in dem versucht wird Werte für x zu finden wo f(x) gegen null geht - erraten.

Ganzrationale Funktion des Grades 1

Für die Funktion $f(x)=ax+b$ gilt.

${\begin{aligned}f(x)&=ax+b=0\\ax&=-b\\x&=-{\frac {b}{a}}\end{aligned}}$ Man kann also die Nullstelle jeder ganzrationalen Funktion 1.Grades mit diesem Schema lösen.

Beispiel

${\begin{aligned}f(x)&=2x+1=0\\x&=-{\frac {b}{a}}=-{\frac {1}{2}}\\f\left(-{\frac {1}{2}}\right)&=2*\left(-{\frac {1}{2}}\right)+1=-1+1=0\end{aligned}}$

Ganzrationale Funktion des Grades 2

Für das Lösen einer ganzrationalen Funktion 2. Grades gibt es zwei Lösungsformeln. Die "Mitternachtsformel"/"ABC-Formel" und die PQ-Formel. Die Funktion ist definiert als $g(x)=ax^{2}+bx+c$

Lösen mit Mitternachtsformel

Lösen mit PQ-Formel

Die PQ-Formel ist nur für Funktionen zweckmäßig, bei denen x^2 mit dem Faktor 1 in die Gleichung eingeht.

Ganzrationale Funktion des Grades 3

Angenommen, man hat die Funktion $f(x)=x^{3}-7x+3$ und sucht deren Nullstellen. Obwohl es sich um eine ausgesprochen einfache Funktion handelt, ist das Problem recht komplex. Hingegen reicht es in der Praxis meist aus, einen Näherungswert für die Nullstellen zu haben.

Die erste Idee, eine solche Näherung zu finden, ist das Intervallhalbierungsverfahren (Bisektion). Das Intervallhalbierungsverfahren ist also ausgesprochen ineffizient und für praktische Anwendungen praktisch nutzlos!