Analysis: Stetigkeit: Zwischenwertsatz

Analysis

Zwischenwertsatz: Ist $f:X\rightarrow Y$ stetig und surjektiv, wobei $(X,{\mathcal {T}})$, $(Y,{\mathcal {U}})$ topologische Räume sind und $(X,{\mathcal {T}})$ zusammenhängend ist, so ist $(Y,{\mathcal {U}})$ zusammenhängend.

Beweis: Ist $(Y,{\mathcal {U}})$ nicht zusammenhängend, so gibt es disjunkte offene Mengen $A\in {\mathcal {U}}$ und $B\in {\mathcal {U}}$, so dass $A\cup B=Y$. Da $f$ stetig ist, sind dann aber auch $f^{-1}(A)\in {\mathcal {T}}$ und $f^{-1}(B)\in {\mathcal {T}}$ offen; außerdem sind sie disjunkt und es gilt $X=A\cup B$. Das heißt aber, dass $X$ nicht zusammenhängend ist, im Widerspruch zur Voraussetzung.