Analysis: Umkehrfunktionen

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Nuvola apps bookcase 1.svg Analysis

Bei einer Funktion wird jeder reellen Zahl x aus einer Menge Df genau eine reelle Zahl y zugeordnet. Im Folgenden wird untersucht, unter welchen Bedingungen die Umkehrung dieser Zuordnung ebenfalls eine Funktion ist und wie man gegebenenfalls ihren Funktionsterm erhält.

Umkehrbarkeit[Bearbeiten]

Nehmen wir . Jeder Zahl x aus der Definitionsmenge Df wird eindeutig eine Zahl y aus der Wertemenge Wf zugeordnet, z.B. . Geht man umgekehrt vom y-Wert 4 aus, wird man nicht zu einem eindeutig bestimmten x-Wert geführt: sowohl 2 als auch -2 kommen in Frage. Die umgekehrte Zuordnung ist damit keine Funktion.

Betrachtet man hingegen , findet man von jedem y-Wert ausgehend immer nur einen x-Wert. Damit ist die umgekehrte Zuordnung auch eine Funktion.

Definition: Eine Funktion  mit der Definitionsmenge  und der Wertemenge  heißt umkehrbar,
falls es zu jedem nur ein mit gibt.

Ist eine Funktion umkehrbar, so heißt die Zuordnung Umkehrfunktion und wird mit (lies: f quer) bezeichnet.
Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar.

Graph[Bearbeiten]

Die Funktion und ihre Umkehrfunktion haben in einem gemeinsamen Koordinatensystem denselben Graphen. Will man für die Darstellung mit , so muss man die Variablen umbenennen: x wird zu y und y zu x ("Variablentausch").

Zu jedem Punkt des Graphen von gehört dann ein Punkt des Graphen von .

Man erhält den Graphen von , indem man den Graphen von an der 1. Winkelhalbierenden spiegelt.

Bestimmen der Umkehrfunktion[Bearbeiten]

An der umkehrbaren Funktion mit wird gezeigt, wie man ermitteln kann.

  • bestimmen:

Es gilt für , aufgrund der strengen Monotonie von ist .

  • Auflösen der Gleichung nach x:

Mit gilt oder und damit oder .

Da ist, muss ausgeschlossen werden.

  • Variablentausch; angeben:

Aus erhält man nun .

Damit ist mit die Umkehrfunktion von .

Ableitung[Bearbeiten]

Hat der Graph von eine Tangente im Punkt , so hat der Graph von im Punkt ebenfalls eine Tangente.

Dies bedeutet: Ist an der Stellex0 differenzierbar mit , dann ist an der Stelle ebenfalls differenzierbar.

Aus den beiden Steigungsdreiecken der Tangenten lässt sich unmittelbar ablesen, dass und Kehrwerte voneinander sind. Damit ist der folgende Satz anschaulich begründet.

Satz: Ist die Funktion  in einem Intervall I umkehrbar und differenzierbar mit  für ,
dann ist die Umkehrfunktion ebenfalls differenzierbar und es gilt:
mit bzw. .

Beispiel:

Gegeben ist die Funktion

und ihre Ableitung

Die Umkehrfunktion lautet

  • Berechnen von

  • Ersetzen von x durch

  • Ersetzen von y durch x