Analysis: Umkehrfunktionen

Bei einer Funktion wird jeder reellen Zahl x aus einer Menge D_f genau eine reelle Zahl y zugeordnet. Im Folgenden wird untersucht, unter welchen Bedingungen die Umkehrung dieser Zuordnung ebenfalls eine Funktion ist und wie man gegebenenfalls ihren Funktionsterm erhält.

Umkehrbarkeit

Nehmen wir $\ f(x)=x^{2}$ . Jeder Zahl x aus der Definitionsmenge D_f wird eindeutig eine Zahl y aus der Wertemenge W_f zugeordnet, z.B. ${\frac {3}{2}}\to {\frac {9}{4}}$ . Geht man umgekehrt vom y-Wert 4 aus, wird man nicht zu einem eindeutig bestimmten x-Wert geführt: sowohl 2 als auch -2 kommen in Frage. Die umgekehrte Zuordnung $\ y\to x$ ist damit keine Funktion.

Betrachtet man hingegen $\ f(x)=x^{3}$ , findet man von jedem y-Wert ausgehend immer nur einen x-Wert. Damit ist die umgekehrte Zuordnung $\ y\to x$ auch eine Funktion.

Definition: Eine Funktion  $\ f:x\to y$  mit der Definitionsmenge  $D_{f}$  und der Wertemenge  $W_{f}$  heißt umkehrbar,
 falls es zu jedem  $y\in W_{f}$  nur ein   $x\in D_{f}$  mit  $\ f(x)=y$  gibt.

Ist eine Funktion umkehrbar, so heißt die Zuordnung $\ y\to x$ Umkehrfunktion und wird mit ${\bar {f}}$ (lies: f quer) bezeichnet.
Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar.

Graph

Die Funktion $\ f:x\to y$ und ihre Umkehrfunktion ${\bar {f}}:y\to x$ haben in einem gemeinsamen Koordinatensystem denselben Graphen. Will man für ${\bar {f}}$ die Darstellung ${\bar {f}}:x\to y$ mit $y={\bar {f}}(x)$ , so muss man die Variablen umbenennen: x wird zu y und y zu x ("Variablentausch").

Zu jedem Punkt $\ P(a|b)$ des Graphen von $\ f$ gehört dann ein Punkt ${\bar {P}}(b|a)$ des Graphen von ${\bar {f}}$ .

Man erhält den Graphen von ${\bar {f}}$ , indem man den Graphen von $\ f$ an der 1. Winkelhalbierenden spiegelt.

Bestimmen der Umkehrfunktion

An der umkehrbaren Funktion $\ f$ mit $\ f(x)=(x+1)^{2},x\geq -1$ wird gezeigt, wie man ${\bar {f}}$ ermitteln kann.

$D_{\bar {f}}$ bestimmen:

Es gilt $\ f(-1)=0,f(x)\to \infty$ für $\ x\to \infty$ , aufgrund der strengen Monotonie von $\ f$ ist $D_{\bar {f}}=W_{f}=[0;\infty )$ .

Auflösen der Gleichung $\ y=f(x)$ nach x:

Mit $\ y=(x+1)^{2}$ gilt ${\sqrt {y}}=x+1$ oder ${\sqrt {y}}=-(x+1)$ und damit $x={\sqrt {y}}-1(*)$ oder $x=-{\sqrt {y}}-1(**)$ .

Da $W_{\bar {f}}=D_{f}=[-1;\infty )$ ist, muss $\ (**)$ ausgeschlossen werden.

Variablentausch; ${\bar {f}}$ angeben:

Aus $x={\sqrt {y}}-1$ erhält man nun $y={\sqrt {x}}-1$ .

Damit ist ${\bar {f}}$ mit ${\bar {f}}(x)={\sqrt {x}}-1;x\geq 0$ die Umkehrfunktion von $\ f$ .

Ableitung

Hat der Graph von $\ f$ eine Tangente im Punkt $\ P(x_{0}|y_{0})$ , so hat der Graph von ${\bar {f}}$ im Punkt ${\bar {P}}(y_{0}|x_{0})$ ebenfalls eine Tangente.

Dies bedeutet: Ist $\ f$ an der Stellex₀ differenzierbar mit $\ f'(x_{0})\neq 0$ , dann ist ${\bar {f}}$ an der Stelle $\ y_{0}=f(x_{0})$ ebenfalls differenzierbar.

Aus den beiden Steigungsdreiecken der Tangenten lässt sich unmittelbar ablesen, dass $\ f'(x_{0})$ und ${\bar {f}}'(y_{0})$ Kehrwerte voneinander sind. Damit ist der folgende Satz anschaulich begründet.

Satz: Ist die Funktion  $\ f$  in einem Intervall I umkehrbar und differenzierbar mit  $\ f'(x)\neq 0$  für  $x\in I$ ,
dann ist die Umkehrfunktion  ${\bar {f}}$  ebenfalls differenzierbar und es gilt:
 ${\bar {f}}'(y)={\frac {1}{f'(x)}}$  mit  $\ y=f(x)$  bzw.  $x={\bar {f}}(y)$ .