Analysis II: Ableitungen: Diffeomorphismen

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Bitte beachten[Bearbeiten]

Allen Sätzen wird ein sinnhafter Name gegeben. Kleinere Sätze bekommen in der Literatur zwar keinen eigenen Namen, aber in diesem Buch schon. Diese Namen sind inoffiziell und werden nur innerhalb dieses Buches benutzt, um sinnvoll auf sie referenzieren zu können. Bei Sätzen mit mehr oder weniger bekannten Namen wird dieser gesondert formatiert.

  • offizielle Namen: Beispiel
  • inoffizielle Namen: Beispiel

Benötigte Definitionen[Bearbeiten]

Die Klasse C[Bearbeiten]

Mit bezeichnet man den Raum der n-mal stetig differenzierbaren Funktionen in .

Isomorphismus[Bearbeiten]

Ein Isomorphismus ist eine bijektive lineare Abbildung. Für Isomorphismen ist die Schreibweise gängig.

Satz:
Es seien Vektorräume.
Falls ein Isomorphismus existiert, so stimmen die Dimensionen von überein, d.h. .

Identische Abbildung[Bearbeiten]

Sei eine Menge, dann heißt die Abbildung

für alle

die identische Abbildung auf .

Komposition[Bearbeiten]

Folgende Regeln gelten für die Komposition mit und zweier Funktionen:

  • Die Identische Abbildung ist das neutrale Element der Komposition:
.
  • Ist die Komposition bijektiv, so ist injektiv und surjektiv.

Bemerkung: Es lohnt sich generell für dieses Thema sich intensiver mit dem Thema Komposition auseinanderzusetzen und ein überfliegen der wikipedia Seite ist zu empfehlen: Komposition

Inverses Element[Bearbeiten]

Sei eine Menge, eine zweistellige Verknüpfung und einem neutralem Element . Seien

  • Wenn , dann heißt rechtsinvertierbar mit dem rechtsinversen Element .
  • Völlig analog wird linksinvertierbar und linksinverses Element definiert.
  • Wenn gilt, dann heißt invertierbar mit dem inversem Element .

Definition[Bearbeiten]

und seien endlich-dimensionale normierte Vektorräume.
Definition:

Eine bijektive -Abbildung einer offenen Menge auf eine offene Menge heißt Diffeomorphismus, wenn die Umkehrung auch eine -Abbildung ist.

Einfach gesagt: Eine Funktion und deren Umkehrfunktion sind stetig differenzierbar.

Elementare Eigenschaften[Bearbeiten]

Wir werden jetzt zeigen, dass auch die Differentiale zueinender invers sind und ein Diffeomorphismus nur existiert kann, wenn die Dimensionen der normierten Vektorräume identisch sind. Für beide Sätze gelten folgende Bedingungen:

  • Sei ein Diffeomorphismus und
  • sei seine Umkehrung.

Satz (Differentiale sind zueinander inverse Isomorphismen)

Für jedes sind die Differentiale und , zueinander inverse Isomoprhismen:

Für den Beweis benötigen wir noch die Differentiale der identischen Abbildung und :

ist linear, somit muss die Ableitung konstant sein (man verwechsel hier nicht die Ableitung mit dem Differential).
Man setze in die Definition der Ableitung ein:
ab hier sieht man, dass ein neutrales Element der Verkettung (Komposition) sein muss und muss laut Beispiel 2 konstant sein, d.h. jedem wird die identische Abbildung zugeordnet.
Völlig analog zeigt man, dass ist.

Nun zum Beweis: Man betrachte die beiden Abbildungen

bzw. und
bzw. .

Mittels Kettenregel gelangt man zu folgenden Identitäten:

und
.

Jetzt zeigen wir mit den Identitäten, dass die beiden Differentiale und bijektiv, also Isomorphismen sind:

ist bijektiv
ist surjektiv
ist injektiv
ist bijektiv
ist surjektiv
ist injektiv
und sind bijektiv, also Isomorphismen.

Jetzt muss man noch zeigen, dass es zueinander inverse Isomorphismen sind. Das zeigt man über das links- und rechtsinverse Element:

Notation: Wie üblich wird das inverse Element mit gekennzeichnet.
Daraus folgt, dass das rechtsinverse Element von ist.
Daraus folgt, dass das linksinverse Element von ist.

ist das eindeutig definierte inverse Element von


Der zweite Beweis ist eine unmittelbare Folgerung aus der Tatsache, dass die Differentiale Isomorphismen sind.

Satz (Dimensionsgleichheit)

und haben die gleiche Dimension.

Beweis:
Da das Differential ein Isomorphismus ist, folgt mit diesem oben beschrieben Satz sofort die Behauptung.

Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion[Bearbeiten]