Analysis II: Ableitungen: Mittelwertsätze

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Einleitung

Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist eine sehr wichtige Erkenntnis der eindimensionalen Analysis und es stellt sich die Frage, ob man diese Erkenntnis ins mehrdimensionale übertragen kann. Wir werden diese Frage mit 'Ja' beantworten, weil wir durch geschicktes Parametriesieren den mehrdimensionalen Fall auf den eindimensionalen Fall zurückführen können.
Zusätzlich kann man die Differenz statt über die Ableitung eine Integraldarstellung finden, welche vom Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung inspiriert wird.
Aber wir müssen mit einer großen Einschränkung leben: Der Mittelwertsatz gilt in seiner erweiterten Form nur dann, wenn man die zwei Punkte mit einer direkten Strecke verbinden kann. Was machen wir also, wenn die zwei Punkte verbunden werden können mit einer Kurve, aber halt nicht direkt? Auch da existiert eine Darstellung, die Integraldarstellung des Funktionszuwachses genannt wird. Wie der Name schon andeutet, wird die Differenz zweier Funktionswerte nicht über die Ableitung gemittelt, sondern durch ein Kurvenintegral dargestellt, welches die beiden Punkte miteinander verbindet.

Benötigte Definitionen

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Sei $\!\ f$ im kompakten Intervall $\!\ [a,b]$ stetig und im offenen Intervall $\!\ (a,b)$ differenzierbar, so existiert ein $\!\ \xi \in (a,b)$ mit

$\!\ f(b)-f(a)=f'(\xi )(b-a)$

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung besteht aus zwei unterschiedlichen Aussagen, wovon uns nur eine interessiert: Ist die Funktion $\!\ f$ im kompakten Intervall $\!\ I=[a,b]$ stetig differenzierbar, so gilt:

$\!\ f(b)-f(a)=\int _{a}^{b}f'(t)dt$

1. Mittelwertsatz

Fangen wir direkt an: <div id="Satz:Mittelwertsatz" class="serlo-box serlo-theorem " style="border-left: #bedfed solid .3rem; margin-top: 1.5rem; margin-bottom: 2rem; padding-left: 0.8rem;">

Satz (Mittelwertsatz)

Sei $\!\ f:X\rightarrow \mathbb {R}$ mit $\!\ X\subset V$. Seien $\!\ a,b\in X$ Punkte, deren Verbindungsstrecke ganz in $\!\ X$ liege. Dann existiert ein Punkt $\!\ \xi \in [a,b]$ mit

$\!\ f(b)-f(a)=df(\xi )(b-a)$

Für den Beweis parametrisieren wir die Strecke zwischen $\!\ a$ und $\!\ b$. Dann können wir mit der Kettenregel und dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung die Existenz von $\!\ \xi$ zeigen, weil wir dann das Problem auf eine Dimension runterbrechen.
Beweis:
Wir parametrisieren die Strecke mit:

$\!\ \gamma :[0,1]\rightarrow X,t\mapsto a+t(b-a)$

und betrachten die Funktion

$\!\ F:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ,t\mapsto (f\circ \gamma )(t)$

Mit dieser gilt

$\!\ f(b)-f(a)=F(1)-F(0)$

$\!\ F$ ist laut der Kettenregel differenzierbar und wir können den Mittelwertsatz der Differentialrechnung anwenden:

$\!\ F(1)-F(0)=dF(\tau )(1-0)=dF(\tau )=df(\gamma (\tau ))d\gamma (\tau )=df(\xi )(b-a)$ mit $\!\ \xi :=\gamma (\tau )$

Damit wäre die Behauptung bewiesen.
$\!\ \Box$

2. Mittelwertsatz

Satz (2. Mittelwertsatz)

Sei $\!\ f:X\rightarrow W$ mit $\!\ X\subset V$ und $\!\ V,W$ normierte Vektorräume.
Seien $\!\ a,b$ Punkte in $\!\ X$ und die gesammte direkte Verbindungsstrecke liege in $\!\ X$. Dann gilt:

$\!\ f(b)-f(a)=\left(\int _{0}^{1}f'(tb+(1-t)a)dt\right)(b-a)$

Der Beweis arbeitet ähnlich wie der Beweis für den ersten Mittelwertsatz, nur, dass diesmal nicht der Mittelwertsatz der Differentialrechnung angewendet wird, sondern der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung.
Beweis:
Wir basteln uns wieder eine Parametrisierung:

$\!\ \gamma :[0,1]\rightarrow X,t\mapsto a+t(b-a)$

Damit folgt:

$\!\ f(b)-f(a)=(f\circ \gamma )(1)-(f\circ \gamma )(0)$

Nun können wir den Hauptsatz der Differential und Integralrechnung anwenden:

$\!\ (f\circ \gamma )(1)-(f\circ \gamma )(0)=\int _{0}^{1}d(f\circ \gamma )(t)dt$

Mittels Kettenregel werten wir das Differential aus:

$\!\ \int _{0}^{1}d(f\circ \gamma )(t)dt=\int _{0}^{1}f'(\gamma (t))(b-a)dt=\left(\int _{0}^{1}f'(\gamma (t))\right)(b-a)$

Jetzt können wir noch $\!\ \gamma$ auflösen und erhalten die behauptete Darstellung:

$\!\ \left(\int _{0}^{1}f'(tb+(1-t)a)dt\right)(b-a)$

$\!\ \Box$

Integraldarstellung des Funktionszuwachses

Nun wollen wir die Bedingung aufheben, dass die Verbindung zwischen zwei Punkten eine direkte sein muss und verallgemeinern somit den 2. Mittelwertsatz. Ansich ist der folgende Satz sogar schon bewiesen, aber der Vollständigkeit halber werden wir den ganzen Beweis ohne Wissen des 2. Mittelwersatzes formulieren. <div id="Satz:Integraldarstellung des Funktionszuwachses" class="serlo-box serlo-theorem " style="border-left: #bedfed solid .3rem; margin-top: 1.5rem; margin-bottom: 2rem; padding-left: 0.8rem;">

Satz (Integraldarstellung des Funktionszuwachses)

Sei $\!\ f:X\rightarrow W$ mit $\!\ X\subset V$ und $\!\ V,W$ normierte Vektorräume.
Seien $\!\ a,b$ Punkte in $\!\ X$ und $\!\gamma :[0,1]\rightarrow X$ eine $\!\ C^{1}$ Kurve mit

$\!\ \gamma (0)=a$ und $\!\ \gamma (1)=b$.

Dann gilt:

$\!\ f(b)-f(a)=\int _{0}^{1}f'(\gamma (t))\gamma '(t)dt$

Beweis:
Es gilt:

$\!\ f(b)-f(a)=(f\circ \gamma )(1)-(f\circ \gamma )(0)$

Nun können wir den Hauptsatz der Differential und Integralrechnung anwenden:

$\!\ (f\circ \gamma )(1)-(f\circ \gamma )(0)=\int _{0}^{1}d(f\circ \gamma )(t)dt$

und das Differential mit der Kettenregel auswerten und erhalten die geforderte Form:

$\!\ \int _{0}^{1}f'(\gamma (t))\gamma '(t)dt$

$\!\ \Box$
Bemerkung: Die Kurve muss nicht über das Intervall $\!\ [0,1]$ parametrisiert werden. Es kann ein beliebiges Intervall genommen werden. Dann müssen nur die Integralgrenzen angepasst werden.