Analytische Geometrie/ Matrizen/ Rechnen mit Matrizen/ Determinante einer Matrix

Definition

Die Determinante der Matrix $A=\left({\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right)$ ist $\det A=\left|{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right|=a_{11}\cdot a_{22}-a_{21}\cdot a_{12}$

Die Determinante der Matrix $A=\left({\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}}\right)$ ist

\det A=\left|{\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}}\right|

=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13}-a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}.

Bei der Berechnung der Determinante einer 3x3-Matrix hilft folgendes Schema:

Die ersten beiden Spalten der Matrix werden noch einmal neben die Matrix geschrieben.
Die Einträge auf den Diagonalen von oben links nach unten rechts werden multipliziert und die Ergebnisse addiert.
$a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}$
Die Einträge auf den Diagonalen von unten links nach oben rechts werden multipliziert und die Ergebnisse subtrahiert.
$-a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13}-a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}$
$\det A=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13}-a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}$

Beispiele

{\begin{array}{|cc|}2&2\\4&1\end{array}}=2\cdot 1-4\cdot 2=-6,\;{\begin{array}{|cc|}1&2\\3&1\end{array}}=1\cdot 1-3\cdot 2=-5,\;{\begin{array}{|cc|}1&2\\3&4\end{array}}=1\cdot 4-3\cdot 2=-2

A=\left({\begin{array}{ccc}1&2&2\\2&3&1\\3&4&1\\\end{array}}\right)

Im Schema geschrieben

{\begin{array}{|ccc|cc|}1&2&2&1&2\\2&3&1&2&3\\3&4&1&3&4\\\end{array}}

\det A=1\cdot 3\cdot 1+2\cdot 1\cdot 3+2\cdot 2\cdot 4-3\cdot 3\cdot 2-4\cdot 1\cdot 1-1\cdot 2\cdot 2=3+6+16-18-4-4=25-26=-1

Entwicklung einer Determinante

Sei $\left.A\right.$ eine Matrix mit n Spalten und n Zeilen und $\left.a_{m,k}\right.$ die Einträge von $\left.A\right.$ (m=Zeile, k=Spalte). Sei ferner $\left.A_{m,k}\right.$ die Matrix, die aus $\left.A\right.$ entsteht, wenn man die m-te Zeile und die k-te Spalte weg lässt. Also z.B.

A=\left({\begin{array}{ccc}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\\\end{array}}\right)

,

A_{1,2}=\left({\begin{array}{cc}a_{2,1}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,3}\\\end{array}}\right)

und

A_{3,1}=\left({\begin{array}{cc}a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,2}&a_{2,3}\\\end{array}}\right)

Dann ist die Entwicklung von $\left.\det A\right.$ nach der m-ten Zeile:

{\begin{array}{rcl}\det A&=&(-1)^{m+1}\cdot a_{m,1}\cdot \det A_{m,1}+(-1)^{m+2}\cdot a_{m,2}\cdot \det A_{m,2}+\ldots +(-1)^{m+n}\cdot a_{m,n}\cdot \det A_{m,n}\\&=&\sum _{j=1}^{n}(-1)^{m+j}\cdot a_{m,j}\cdot \det A_{m,j}\\\end{array}}

Die Entwicklung von $\left.\det A\right.$ nach der k-ten Spalte ist:

{\begin{array}{rcl}\det A&=&(-1)^{k+1}\cdot a_{1,k}\cdot \det A_{1,k}+(-1)^{k+2}\cdot a_{2,k}\cdot \det A_{2,k}+\ldots +(-1)^{k+n}\cdot a_{n,k}\cdot \det A_{n,k}\\&=&\sum _{j=1}^{n}(-1)^{k+j}\cdot a_{j,k}\cdot \det A_{j,k}\\\end{array}}

Beispiele

A=\left({\begin{array}{ccc}1&2&2\\2&3&1\\3&4&1\end{array}}\right)

Die Determinante soll nach der 2-ten Zeile Entwickelt werden.

A_{2,1}=\left({\begin{array}{cc}2&2\\4&1\end{array}}\right),\;A_{2,2}=\left({\begin{array}{cc}1&2\\3&1\end{array}}\right),\;A_{2,3}=\left({\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}}\right)

a_{2,1}=2,\;a_{2,2}=3,\;a_{2,3}=1

Also ist:

{\begin{array}{rcl}\det A&=&(-1)^{2+1}\cdot 2\cdot \left|{\begin{array}{cc}2&2\\4&1\end{array}}\right|+(-1)^{2+2}\cdot 3\cdot \left|{\begin{array}{cc}1&2\\3&1\end{array}}\right|+(-1)^{2+3}\cdot 1\cdot \left|{\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}}\right|\\&=&-2\cdot (-6)+3\cdot (-5)-1\cdot (-2)\\&=&-1\end{array}}

Anwendung: Kreis durch drei Punkte

Eine klassische Anwendung besteht darin, in einem Koordinatensystem einen Kreis durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte zu finden.

Gegeben seien drei Punkte $P_{1}(x_{1},y_{1})$ , $P_{2}(x_{2},y_{2})$ und $P_{3}(x_{3},y_{3})$ auf dem gesuchtem Kreis. Weil sie alle der Kreisgleichung $\left(x-x_{M}\right)^{2}+\left(y-y_{M}\right)^{2}=r^{2}$ genügen, ergibt sich: