Bei der Berechnung der Determinante einer 3x3-Matrix hilft folgendes Schema:
- Die ersten beiden Spalten der Matrix werden noch einmal neben die Matrix geschrieben.
- Die Einträge auf den Diagonalen von oben links nach unten rechts werden multipliziert und die Ergebnisse addiert.
![{\displaystyle a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa875aa307974262f94fa20179e65cdf1c586850)
- Die Einträge auf den Diagonalen von unten links nach oben rechts werden multipliziert und die Ergebnisse subtrahiert.
![{\displaystyle -a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13}-a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbcb9386d0e3af01f384c729a59f6a6ec4e9422a)
![{\displaystyle \det A=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13}-a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a574a8d045e6ba0c939e5ea2cbcad2e0250e40bf)
Sei
eine Matrix mit n Spalten und n Zeilen und
die Einträge von
(m=Zeile, k=Spalte). Sei ferner
die Matrix, die aus
entsteht, wenn man die m-te Zeile und die k-te Spalte weg lässt. Also z.B.
,
und ![{\displaystyle A_{3,1}=\left({\begin{array}{cc}a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,2}&a_{2,3}\\\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fecbc9e1fbb90d4a3db2bdb6be2fb24efbb8180f)
Dann ist die Entwicklung von
nach der m-ten Zeile:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\det A&=&(-1)^{m+1}\cdot a_{m,1}\cdot \det A_{m,1}+(-1)^{m+2}\cdot a_{m,2}\cdot \det A_{m,2}+\ldots +(-1)^{m+n}\cdot a_{m,n}\cdot \det A_{m,n}\\&=&\sum _{j=1}^{n}(-1)^{m+j}\cdot a_{m,j}\cdot \det A_{m,j}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd9abbe800861f912334e944f9adb1ec640f280b)
Die Entwicklung von
nach der k-ten Spalte ist:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\det A&=&(-1)^{k+1}\cdot a_{1,k}\cdot \det A_{1,k}+(-1)^{k+2}\cdot a_{2,k}\cdot \det A_{2,k}+\ldots +(-1)^{k+n}\cdot a_{n,k}\cdot \det A_{n,k}\\&=&\sum _{j=1}^{n}(-1)^{k+j}\cdot a_{j,k}\cdot \det A_{j,k}\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e196b80ea79c57b6cdf98e93571b6f2a30363fb)
![{\displaystyle A=\left({\begin{array}{ccc}1&2&2\\2&3&1\\3&4&1\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20f2414a53135fefaefbe6b9bdb4d167a3297403)
Die Determinante soll nach der 2-ten Zeile Entwickelt werden.
![{\displaystyle A_{2,1}=\left({\begin{array}{cc}2&2\\4&1\end{array}}\right),\;A_{2,2}=\left({\begin{array}{cc}1&2\\3&1\end{array}}\right),\;A_{2,3}=\left({\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02022e7b43eb319bd123949246d949c2e7dc08a6)
![{\displaystyle a_{2,1}=2,\;a_{2,2}=3,\;a_{2,3}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be5356194a9c0ff4ba3d5e381f779c8501cc3963)
Also ist:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\det A&=&(-1)^{2+1}\cdot 2\cdot \left|{\begin{array}{cc}2&2\\4&1\end{array}}\right|+(-1)^{2+2}\cdot 3\cdot \left|{\begin{array}{cc}1&2\\3&1\end{array}}\right|+(-1)^{2+3}\cdot 1\cdot \left|{\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}}\right|\\&=&-2\cdot (-6)+3\cdot (-5)-1\cdot (-2)\\&=&-1\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f13d1c724a400cc2fee1cacbc3c632b1931160d3)
Eine klassische Anwendung besteht darin, in einem Koordinatensystem einen Kreis durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte zu finden.
Gegeben seien drei Punkte
,
und
auf dem gesuchtem Kreis. Weil sie alle der Kreisgleichung
genügen, ergibt sich:
![{\displaystyle \left(x_{1}-x_{M}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{M}\right)^{2}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b46296931aaf6d0e8c9266807048ac6fa7259f2)
![{\displaystyle \left(x_{2}-x_{M}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{M}\right)^{2}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de8f59d0a5d22cdf3ff3571f989d8acb702dacd)
![{\displaystyle \left(x_{3}-x_{M}\right)^{2}+\left(y_{3}-y_{M}\right)^{2}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17ab70c2ad2dd13b08011ddbb5e0ec229b78cc9)
- mit den Unbekannten
,
und
.
Wenn man die Matrix
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}x^{2}+y^{2}&x&y&1\\x_{1}^{2}+y_{1}^{2}&x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}&x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}&x_{3}&y_{3}&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39895c5e217f26b28dcb49505977fd617255cbb2)
deren Detetminante Null ist, nach der ersten Zeile entwickelt, so erhält man die Gleichung des gesuchten Kreises:
Mit den Unterdeterminanten
|
|
|
|
Ergibt sich die Gleichung:
![{\displaystyle A(x^{2}+y^{2})+Bx+Cy+D=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935da949351ef979ae78ad6ad4ee196820970f84)
Mittels geeigneter quadratischer Ergänzung folgt die Kreisgleichung
![{\displaystyle \left(x-x_{M}\right)^{2}+\left(y-y_{M}\right)^{2}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a2317cebaf22c2b2bfc38f7013b06682893eba)
Mit
,
und
.
Liegen die Punkte auf einer Geraden, so ist
.