Analytische Geometrie/ Matrizen/ Rechnen mit Matrizen/ Determinante einer Matrix

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen
Definition

Die Determinante der Matrix ist

Die Determinante der Matrix ist

 


Bei der Berechnung der Determinante einer 3x3-Matrix hilft folgendes Schema:

Sarrus.png

  • Die ersten beiden Spalten der Matrix werden noch einmal neben die Matrix geschrieben.
  • Die Einträge auf den Diagonalen von oben links nach unten rechts werden multipliziert und die Ergebnisse addiert.
  • Die Einträge auf den Diagonalen von unten links nach oben rechts werden multipliziert und die Ergebnisse subtrahiert.


Entwicklung einer Determinante[Bearbeiten]

Sei eine Matrix mit n Spalten und n Zeilen und die Einträge von (m=Zeile, k=Spalte). Sei ferner die Matrix, die aus entsteht, wenn man die m-te Zeile und die k-te Spalte weg lässt. Also z.B.

, und

Dann ist die Entwicklung von nach der m-ten Zeile:

Die Entwicklung von nach der k-ten Spalte ist:



Anwendung: Kreis durch drei Punkte[Bearbeiten]

Eine klassische Anwendung besteht darin, in einem Koordinatensystem einen Kreis durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte zu finden.

Gegeben seien drei Punkte , und auf dem gesuchtem Kreis. Weil sie alle der Kreisgleichung genügen, ergibt sich:

mit den Unbekannten , und .

Wenn man die Matrix

deren Detetminante Null ist, nach der ersten Zeile entwickelt, so erhält man die Gleichung des gesuchten Kreises: Mit den Unterdeterminanten

Ergibt sich die Gleichung:

Mittels geeigneter quadratischer Ergänzung folgt die Kreisgleichung

Mit   ,     und   .

Liegen die Punkte auf einer Geraden, so ist .

Zurück zu "Matrizenmultiplikation" Zurück zu "Matrizenmultiplikation" | Hoch zum "Rechnen mit Matrizen" Hoch zum "Rechnen mit Matrizen" | Vor zu "Inverse Matrizen" Vor zu "Inverse Matrizen"