Analytische Geometrie/ Matrizen/ Rechnen mit Matrizen/ Inverse Matrizen

Definition

Die quadratische Matrix $I=\left({\begin{array}{cccc}1&0&\cdots &0\\0&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &0\\0&\cdots &0&1\\\end{array}}\right)$ heißt Einheitsmatrix.

Sind $\left.A\right.$ und $\left.B\right.$ quadratische Matrizen (d.h. Matrizen mit gleicher Zeilen- und Spaltenzahl) und gilt $\left.A\cdot B=I\right.$ bzw. $\left.B\cdot A=I\right.$, so sind $\left.A\right.$ und $\left.B\right.$ zueinander Inverse. Kurz: $\left.A^{-1}=B\right.$ bzw. $\left.B^{-1}=A\right.$.

 

Es gilt $\left.A^{-1}=B\Leftrightarrow B^{-1}=A\right.$.

Satz

Die Inverse einer Matrix $\left.A\right.$ existiert nur dann , wenn $\left.\det A\neq 0\right.$. Im Fall einer 2x2-Matrix gilt:

$A=\left({\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right)\Rightarrow A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\cdot \left({\begin{array}{cc}a_{22}&-a_{12}\\-a_{21}&a_{11}\end{array}}\right)$

 

Beispiele

$A=\left({\begin{array}{cc}5&3\\3&1\\\end{array}}\right)$

$\left.\det A=5-9=-4\right.$

$\Rightarrow A^{-1}={\frac {1}{-4}}\cdot \left({\begin{array}{cc}1&-3\\-3&5\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}-1/4&3/4\\3/4&-5/4\\\end{array}}\right)$

$\left({\begin{array}{cc}5&3\\3&1\\\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{cc}-1/4&3/4\\3/4&-5/4\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}-5/4+9/4&15/4-15/4\\-3/4+3/4&9/4-5/4\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\\end{array}}\right)$

 

Invertieren größerer Matrizen

Größere Matrizen können mit hilfe der Cramerschen-Regel invertiert werden.

$a_{ij}^{-1}={\frac {(-1)^{i-j}*\det(A_{ij})}{\det(A)}}$

Wobei $a_{ij}^{-1}$ die Elemente der invertierten Matrix sind, $A$ die Ursprüngliche Matrix und $\det(A_{ij})$ die Determinante der Matrix $A$ nach dem Streichen der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte.

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