Analytische Geometrie/ Weiterführende Themen

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Vektorräume[Bearbeiten]

Definition

Eine (zweistellige) innere Verknüpfung ist eine Abbildung, bei der je zwei Elementen einer Menge M ein Element aus derselben Menge M zugeordnet wird. Geschrieben wird eine solche Verknüpfung als

Eine (zweistellige) äußere Verknüpfung (erster Art) ist eine Abbildung, bei der einem Element aus einer Menge A und einem Element aus einer zweiten Menge B wieder ein Element aus der zweiten Menge B zugeordnet wird.

 


Bei Verknüpfungen, die als Addition oder Multiplikation bezeichnet werden, wird häufig die sogenannten Infix-Notation verwendet. Hierbei wird das Symbol der Verknüpfung zwischen die beiden zu verknüpfenden Elemente geschrieben anstatt davor, wie z.B. statt .

Definition

Eine Menge K zusammen mit zwei inneren Verknüpfungen (meist Addition genannt) und (meist Multiplikation genannt), die für alle folgende Eigenschaften erfüllen, nennt man einen Körper:

  • Eigenschaften der "Addition":
(A1) (Assoziativität der Addition)
(A2) (Kommutativität der Addition)
(A3) Es gibt ein Element , so dass für alle gilt (Existenz des neutralen Elementes der Addition)
(A4) Zu jedem existiert ein mit (Existenz des inversen Elementes der Addition)
  • Eigenschaften der "Multiplikation":
(M1) (Assoziativität der Multiplikation)
(M2) (Kommutativität der Multiplikation)
(M3) Es gibt ein Element , so dass für alle gilt (Existenz des neutralen Elementes der Multiplikation)
(M4) Zu jedem gibt es ein mit (Existenz des inversen Elementes der Multiplikation)
  • Eigenschaft der Kombination aus "Addition" und "Multiplikation":
(D) (Distributivität)
 



Definition

Ein Vektorraum über einem (Skalar-)Körper K ist eine Menge V mit einer inneren Verknüpfung (Vektoraddition genannt) und einer äußeren Verknüpfung (Skalarmultiplikation oder zur besseren Unterscheidung vom Skalarprodukt Multiplikation mit Skalaren genannt), die für alle und alle folgende Eigenschaften erfüllen:

  • Eigenschaften der Vektoraddition
(V1) (Assoziativität der Vektoraddition)
(V2) (Kommutativität der Vektoraddition)
(V3) Es gibt ein Element , so dass für alle gilt (Existenz des neutralen Elementes der Vektoraddition)
(V4) Zu jedem existiert ein mit (Existenz des inversen Elementes der Vektoraddition)
  • Eigenschaften der Multiplikation mit Skalaren:
(V5) (Assoziativität der Multiplikation mit Skalaren)
(V6) Für das neutrale Element der Multiplikation gilt auch (Erhaltung des neutralen Elementes der Multiplikation des Körpers als neutrales Element der Multiplikation mit Skalaren)
  • Eigenschaft der Kombination aus Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren:
(V7) (Distributivität der Skalare)
(V8) (Distributivität der Vektoren)

Um noch einmal auf die in der Definition der Verknüpfungen (versteckt) enthaltenen Eigenschaften besonders hinzudeuten kann noch angefügt werden:

(V0a) (Abgeschlossenheit der Vektoraddition)
(V0b) (Abgeschlossenheit der Multiplikatio nmit Skalaren)

Die Elemente eines Vektorraumes nennt man Vektoren.

 



Definition

Ein Untervektorraum ist eine Teilmenge eines Vektorraumes, die selbst wieder ein Vektorraum ist. Ist V ein Vektorraum über K und eine nichtleere Teilmenge, dann ist U ein Untervektorraum von V (über K), wenn folgende Bedingungen für alle und alle erfüllt sind:

  • (Abgeschlossenheit der Vektoraddition)
  • (Abgeschlossenheit der Multiplikation mit Skalaren)
 



Definition

Ist V ein Vektorraum und sind . Dann heißt das endliche Vektorsystem

  • linear unabhängig, wenn die Gleichung nur die triviale Lösung besitzt,
  • linear abhängig, wenn die Gleichung neben der trivialen Lösung eine weiter Lösung besitzt, bei der nicht alle gleich Null sind.

Eine unendliche Menge von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge derselben linear unabhängig ist.

 


Definition

Ist V ein Vektorraum über K und , dann nennt man E ein Erzeugendensystem von V, wenn für jeden Vektor Vektoren und Skalare existieren, so dass . ( lässt sich als Linearkombination von endlich vielen Vektoren aus E darstellen.)

Ein Erzeugendensystem aus linear unabhängigen Vektoren nennt man eine Basis.

Die Dimesion eines Vektorraumes, kurz , ist die Anzahl der Vektoren in jeder Basis des Vektorraumes.

 


Beachte: Sowohl ein Erzeugendensystem, als auch eine Basis können unendlich viele Vektoren enthalten. In letzterem Fall schreibt man .

Ist V ein n-dimensionaler Vektorraum über K und eine Basis von V, dann lässt sich jeder Vektor aus V als Linearkombination der Basisvektoren darstellen.

Ist die Basis auf irgendeine Weise geordnet, z.B. nach den Indizes der Basisvektoren, dann bezeichnet man das entsprechende n-Tupel aus den Koeffizienten oder auch als Koordinaten von (bezüglich B).


Definition

Eine nicht leere Menge (genannt Menge der Punkte) zusammen mit einem Vektorraum V (genannt Richtungsvektorraum) und einer Abbildung (genannt Translation oder Verschiebung) heißt affiner Raum, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • Für alle gilt:
  • Für alle und alle gilt:
  • Für alle existiert ein eindeutig bestimmter Vektor , so dass gilt:
 


Statt schreibt man auch . Der durch eindeutig bestimmte Vektor mit wird häufig als bezeichnet.


Definition

Ein Skalarprodukt auf einem -Vektorraum V ist eine Abbildung die für jedes und jedes folgende Eigenschaften erfüllt:

 


Ist aus dem Zusammenhang die Unterscheidung zwischen der Multiplikation mit Skalaren und dem Skalarprodukt klar, so kann man auch das Symbol statt des Symbols für das Skalarprodukt verwenden.

Definition

Die Norm eines Vektors wird definiert durch .

Der Winkel zwischen zwei Vektoren ist .

Ist , so nennt man und zueinander orthogonal.