Analysis: Einführung in die Integralrechnung

Analysis

Die Idee der Integralrechnung ist es, ganz allgemein krummlinig begrenzte Flächen zu berechnen, also etwa die Fläche zwischen dem Graph einer Funktion und der x-Achse.

Wir vereinbaren folgende Notation:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

ist das bestimmte Integral der Funktion f nach [der Variablen] x [in den Grenzen] von a bis b. Es soll den Flächeninhalt zwischen Kurve und Achse wie in der Abb. oben S bezeichnen. Das (Integrations-) Differential dx gibt an, nach welcher Variablen integriert wird; es hat in der Regel nur symbolische Bedeutung.

Es handelt sich hierbei um ein Riemann-Integral (nach B. Riemann). Es gibt auch noch verallgemeinerte Integralbegriffe.

Die Integralrechnung beschäftigt sich mit der Berechnung solcher Integrale.

Geometrische Aspekte des Integrals

Um nun einem Integral systematisch "zu Fläche zu rücken", nähert man es durch sog. Ober- und Untersummen immer genauer an.

Beispiel

Gesucht ist der Flächeninhalt zwischen einer Normalparabel und der x-Achse zwischen x=0 und 1, also

$\int _{0}^{1}x^{2}\,\mathrm {d} x.$

Die vierten Ober- und Untersummen graphisch dargestellt:

• 
  4. Untersumme
• 
  4. Obersumme

Die Flächen der Rechtecke lassen sich nun einfach berechnen, sodass wir eine obere und eine untere Schranke für den Flächeninhalt haben:

$\int _{0}^{1}x^{2}\mathrm {d} x$	$>R_{1}\,$	$+R_{2}\,$	$+R_{3}\,$	$+R_{4}\,$
	$={\frac {1}{4}}\cdot 0^{2}$	$+{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}$	$+{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {2}{4}}\right)^{2}$	$+{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{2},\qquad {\text{denn jedes Rechteck ist }}{\tfrac {1}{4}}{\text{ lang und so hoch}}$
	$=0{,}21875\,$

Analog lässt sich die Obersumme berechnen:

$\int _{0}^{1}x^{2}\mathrm {d} x$	$<R_{1}\,$	$+R_{2}\,$	$+R_{3}\,$	$+R_{4}\,$
	$+{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {1}{4}}\right)^{2}$	$+{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {2}{4}}\right)^{2}$	$+{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{2}$	$+{\frac {1}{4}}\cdot \left({\frac {4}{4}}\right)^{2}$
	$=0{,}46875\,$

Damit gilt:

$0{,}21875<\int _{0}^{1}x^{2}\mathrm {d} x<0{,}46875$

Allgemeiner Ansatz

Hier erhält man allgemein für die n-te Untersumme $U_{n}$:

$U_{n}={\frac {1}{n}}\cdot 0^{2}+{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {3}{n}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {n-1}{n}}\right)^{2}$

und die n-te Obersumme $O_{n}$:

$O_{n}={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {3}{n}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {n}{n}}\right)^{2}$

Um nun zu dem exakten Wert des Integrals zu kommen, definiert man formal

$\int _{1}^{2}x^{2}\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }U_{n}=\lim _{n\to \infty }O_{n}$

falls diese gleich sind.

Wir führen dies einmal für die Obersummen durch:

$\left.O_{n}={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {1}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\left({\frac {2}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {3}{n}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {n}{n}}\right)^{2}\qquad \right|{\text{ klammere }}{\tfrac {1}{n}}{\text{ aus, quadriere die }}\mathrm {Br{\ddot {u}}che}$

$=\left.{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1^{2}}{n^{2}}}+{\frac {2^{2}}{n^{2}}}+{\frac {3^{2}}{n^{2}}}+\cdots {\frac {n^{2}}{n^{2}}}\right]\qquad \qquad \qquad \right|{\text{ klammere }}{\tfrac {1}{n^{2}}}{\text{ aus}}$

$={\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \left(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}\right)\right]\qquad {\text{ mit }}1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}={\tfrac {1}{6}}n(n+1)(2n+1)$

$=\left.{\frac {1}{n}}\left[{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}}\right]\qquad \qquad \qquad \right|{\text{ Klammer weg, }}{\tfrac {1}{n}}{\text{ hebt sich auf}}$

$={\frac {(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}}$

$={\frac {2n^{2}+3n+1}{6n^{2}}}$

$={\frac {2n^{2}}{6n^{2}}}+{\frac {3n}{6n^{2}}}+{\frac {1}{6n^{2}}}$

$={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}$

Davon lässt sich nun der Grenzwert bilden:

$\lim _{n\to \infty }O_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}={\frac {1}{3}}.$

Für die Untersummen erhält man

$U_{n}=O_{n}-{\frac {1}{n}}\cdot 1^{2}$

und damit analog ebenfalls

$\lim _{n\to \infty }U_{n}={\frac {1}{3}}.$

Damit ist:

$\int \limits _{0}^{1}x^{2}\mathrm {d} x={\frac {1}{3}}.$

Definition

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=\lim _{n\to \infty }U_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i-1})\Delta x_{i}=\lim _{n\to \infty }O_{n}(x)=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x_{i}$
heißt bestimmtes Integral von f über [a,b].

Die $\Delta _{x}$ sind die Längen der Rechtecke, falls sie – wie bei uns – stets gleich sind, lässt sich $\Delta x={\tfrac {b-a}{n}}$ schreiben.

Man nennt $f$ Integrand und $a,b$ die obere bzw. untere Integrationsgrenze.

Eigenschaften des bestimmten Integrals

Sind die Integrationsgrenzen gleich, erhält man eine „flächenlose“ Strecke:

$\int \limits _{a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=0$

Intervalladditivität ($a\leq b\leq c$):

$\int \limits _{a}^{c}f(x)\mathrm {d} x=\int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int \limits _{b}^{c}f(x)\mathrm {d} x$

Durch Verdopplung der Funktion werden alle Rechtecke doppelt so groß, allgemein:

$\int \limits _{a}^{b}k\cdot f(x)\mathrm {d} x=k\cdot \int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$

Addition der Funktionen ergibt Addition der Integralwerte:

$\int \limits _{a}^{b}(f(x)+g(x))\mathrm {d} x=\int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x+\int \limits _{a}^{b}g(x)\mathrm {d} x$

Bestimmung eines Integrals nach dem Hauptsatz der Analysis

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung führt die Berechnung eines bestimmten Integrals zurück auf das Finden der Stammfunktion von $f$, also derjenigen Funktion $F(x)$, deren Ableitung $F'(x)$ gleich $f$ ist:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x=F(b)-F(a):=F(x){\Big |}_{a}^{b}$

wobei $F(x)=\int f(x)\mathrm {d} x$ die Stammfunktion von f ist.

Beispiel einer nicht (riemann-)integrierbaren Funktion

An dieser Stelle sei noch ein Beispiel für eine nicht (in diesem, riemannschen Sinne) integrierbare Funktion gegeben:

$f(x)={\begin{cases}1&{\text{ wenn }}x{\text{ irrational}}\\0&{\text{ wenn }}x{\text{ rational}}\end{cases}}$

In jedem Intervall ist der kleinste Wert 0, da in jedem Intervall eine rationale Zahl liegt; damit ist jede Untersumme 0. Gleichzeitig ist in jedem Intervall der größte Wert 1, womit jede Obersumme 1 ist.

Ausblick

Wie die Mathematikweisheit "Das Differenzieren ist ein Handwerk, das Integrieren eine Kunst" bereits feststellt, gibt es kein allgemeines Verfahren zur (exakten) Bestimmung eines Integrals, also insbesondere der Stammfunktion. Es gibt Verfahren, wie etwa die partielle Integration oder Substitution, mit denen man – allerdings auch nur mit einem guten "mathematischen Auge" – zum Integral findet. Genaueres siehe Analysis: Integrationsregeln, Stammfunktion.

Weitere Integralbegriffe sind etwa das Lebesgue-Integral und das Stieltjes-Integral.

Anwendungen

Hauptartikel Analysis: Integralrechnung: Anwendungen