Astronomische Berechnungen für Amateure/ Himmelsmechanik/ Bahnelemente

Bahnelemente

Die Ebene, in der die Erdbahnellipse liegt, ist die Ekliptik. Die Ebenen, in denen die Bahnellipsen der übrigen Himmelskörper liegen, sind nicht mit der Ekliptik identisch. Um die Ebene einer Objektbahn im Raum bezogen auf die Ebene der Ekliptik, dann die Lage der Bahnellipse in der Ebene, und die Position des Himmelskörpers auf der Bahn in Abhängigkeit der Zeit beschreiben zu können, benötigen wir die Bahnelemente:

Bahnelemente der **Erde** und Bahnvariablen. Bezeichnungen wie im Text, ferner $\scriptstyle \Lambda$ : heliozentrische Länge, $\scriptstyle V$ : wahre Anomalie, $\scriptstyle C$ : Mittelpunktsgleichung, $\scriptstyle J_{tr}$ : tropisches Jahr, $\scriptstyle J_{an}$ : anomalistisches Jahr. Um die Differenz zwischen $\scriptstyle J_{tr}$ und $\scriptstyle J_{an}$ sowie die Mittelpunktsgleichung $\scriptstyle C$ sichtbar zu machen, ist die Steigung von $\scriptstyle \varpi$ 200-fach und die numerische Exzentrizität der Erdbahn 10-fach überhöht gewählt. Zeitnullpunkt:1. Januar 2000, 12 Uhr UT. Man beachte, dass Winkel um Vielfache von 360° versetzt werden können.

Die große Halbachse a der Bahn beschreibt die Größe der Bahn; sie wird in der Regel in AE, seltener in km angegeben. Bei Kometen wird stattdessen in der Regel die Periheldistanz q angegeben.

Die numerische Exzentrizität e der Bahn ist ihr Formparameter und gibt an, wie sehr die Bahn von der Kreisform abweicht; sie ist bei geschlossenen Bahnen eine reine Zahl im Bereich 0 ≤ e < 1 und bei offenen Bahnen, also Objekten, welche einmalig auftauchen, ≥ 1 .

Die Neigung i der Bahnebene gibt den Winkel zwischen der Bahnebene und der Ekliptik; sie wird in den üblichen Winkelmaßen gemessen. Ist 0 ≤ i ≤ 90° (π/2), dann ist der Himmelskörper rechtläufig, dh. seine Bewegung erfolgt im Gegenuhrzeigersinn, wenn man vom Nordpol der Ekliptik auf die Bahnebene blickt. Ist dagegen 90° < i ≤ 180°, dann ist der Himmelskörper rückläufig und läuft – verglichen mit der Norm der Mehrheit der Planeten und übrigen Körper im Sonnensystem – in der „verkehrten“ Richtung um die Sonne.

Die Länge des aufsteigenden Knotens Ω, gemessen in der Ekliptik von der Richtung zum Frühlingspunkt im Gegenuhrzeigersinn. Wenn der Himmelskörper auf seiner Bahn läuft, befindet er sich oberhalb oder unterhalb der Ekliptikebene. Der Punkt in der Ekliptikebene, wo der Planet von negativen zu positiven Werten der Ekliptikbreite wechselt, heisst aufsteigender Knoten ☊. Da, wo der Planet von positiven zu negativen Werten der Ekliptikbreite wechselt, befindet sich der absteigende Knoten ☋. Die in der Ekliptikebene gelegene Gerade, die aufsteigenden und absteigenden Knoten miteinander verbindet, heisst Knotenlinie. Die Länge des aufsteigenden Knotens legt die Lage der Bahnebene im Raum fest.

Das Perihelargument $\omega$ , gemessen in der Bahnebene des Himmelskörpers vom aufsteigenden Knoten bis zum Perihel. Gelegentlich wird der Winkel angegeben, der in der Ekliptik von der Richtung zum Frühlingspunkt bis zum aufsteigenden Knoten, dann in der Bahnebene des Himmelskörpers vom aufsteigenden Knoten bis zum Perihel gemessen und der als Länge des Perihels $\varpi$ bezeichnet wird. Es gilt also: $\varpi =\Omega +\omega$ . Dabei wird Ω in der Ekliptikebene, $\omega$ aber in der Bahnebene des Himmelskörpers gemessen. Dieser Winkel bestimmt die Lage der Ellipse in ihrer Ebene.

Die mittlere Länge L des Himmelskörpers, gemessen in der Ekliptik von der Richtung zum Frühlingspunkt bis zum aufsteigenden Knoten, dann in der Bahnebene des Himmelskörpers vom aufsteigenden Knoten bis zur mittleren Position des Planeten, also $L=\Omega +\omega +M=\varpi +M$ . Statt der mittleren Länge kann auch direkt die mittlere Anomalie M für einen bestimmten Zeitpunkt gegeben sein. Bei Kometen wird stattdessen die Epoche des Periheldurchgangs T₀ angegeben. Damit ist die Position des Himmelskörpers auf seiner Bahn zu einem bestimmten Zeitpunkt bekannt.

Die mittlere tägliche Bewegung n in Grad pro Tag, wodurch die Bewegung in der Bahn festgelegt ist. Ist n nicht gegeben – was z.B. bei Kometendaten die Regel ist – dann kann die Größe über das dritte Keplergesetz berechnet werden:

n\quad =\quad {\frac {0.985\;607\;6686}{a\cdot {\sqrt {a}}}}

Mittlere und oskulierende Bahnelemente

Wie wir noch sehen werden, sind Planetenbahnen nicht fix. Dies bedeutet, dass die Bahnelemente nicht konstant sind (bzw. im Falle von L oder M gleichmässig zunehmen), sondern sich im Laufe der Zeit verändern. Es gibt zwei Varianten, wie unter diesen Umständen Bahnelemente publiziert werden:

Für die großen Planeten werden sog. mittlere Bahnelemente publiziert, die sich entweder auf die aktuelle Ekliptik oder aber auf die Ekliptik einer bestimmten Epoche (aktuell in der Regel J2000.0) beziehen. Damit wird eine mittlere Planetenbahn beschrieben. Die so berechneten mittleren Positionen weichen also von den wahren Positionen ab, sind aber genauer, als wenn man mit unveränderlichen Werten rechnet. Die mittleren Bahnelemente der großen Planeten haben nach P. Bretagnon^[1] die Gestalt eines Polynoms in T, wobei T die verflossene Zeit seit der Standardepoche J2000.0 darstellt, gemessen in julianischen Jahrhunderten:

T\quad =\quad {\frac {JDE\;-\;JD0}{36\;525}}

a_{0}\;+\;a_{1}\cdot T\;+\;a_{2}\cdot T^{2}\;+\;a_{3}\cdot T^{3}

Für Asteroiden und Kometen werden oskulierende Elemente bevorzugt^[2]. Unter einer oskulierenden Bahn versteht man eine Bahn, die eine ungestörte Ellipsenbahn darstellt und die sich zu einem bestimmten Zeitpunkt (ihrer Epoche) möglichst genau an die wahre Bahn anschmiegt. Die oskulierende Bahn wird durch die oskulierenden Elemente beschrieben. In der Nähe der Epoche sind die Positionen, die mit oskulierenden Elementen beschrieben werden, sehr genau. Doch je weiter entfernt der Zeitpunkt ist, desto ungenauer wird die berechnete Position.

Beispiele:

Oskulierende Bahnelemente für einen Kometen bzw. einen Asteroiden.

Komet 14P/Wolf; Periheldurchgang 2009-02-27.2056 (TT); Periheldistanz q = 2.724147 AU; Exzentrizität e = 0.358104; Perihelargument $\omega$ = 158.9747° (J2000.0); Knotenlänge Ω = 202.1223° (J2000.0); Neigung i = 27.9413° (J2000.0); Epoche 2008-11-30; (…)

Asteroid (433) Eros; (…); Epoche 2008-11-30; mittlere Anomalie M = 79.89021°; Perihelargument $\omega$ = 178.66683°; Knotenlänge Ω = 304.37577°; Neigung i = 10.83090°; Exzentrizität e = 0.2229127; mittlere tägliche Bewegung n = 0.55981629°/day; große Halbachse a = 1.4580498 AE; (…)

Berechnung von Koordinaten

Sind nach den beschriebenen Verfahren die Bahnelemente und durch das Lösen der Keplergleichung die wahre Anomalie v bekannt, kann die Position des Körpers im heliozentrischen Ekliptiksystem berechnet werden. Dazu werden zunächst die rechtwinkligen planetenbezogenen Koordinaten berechnet: in diesem System zeigt die x"-Achse von der Sonne zum aufsteigenden Knoten ☊, die Komponente in Richtung dieser Achse beträgt $x''\;=\;r\cdot \cos(\omega +v)$ . Die y"-Achse liegt in der Bahnebene und steht im rechten Winkel zur x"-Achse in der Richtung zunehmender v-Werte. Die Komponente in Richtung dieser Achse hat den Wert $y''\;=\;r\cdot \sin(\omega +v)$ . Die z"-Achse steht senkrecht auf der x"- und der y"-Achse, und zwar so, dass die drei Achsen ein rechtshändiges System bilden. Da die Ellipse eine ebene Figur ist, gilt für die dritte Koordinate der Planetenposition z" = 0. Durch zwei aufeinander folgende Koordinatentransformationen werden die x"-y"-z"-Koordinaten in die heliozentrischen ekliptikalen x-y-z-Koordinaten übergeführt: zuerst wird das Koordinatensystem um den Winkel –i um die x"-Achse gedreht, so dass die y"-Achse in die in der Ekliptikebene liegende y'-Achse gedreht wird, und die z"-Achse zur z-Achse wird. Das so entstandene x'-y'-z'-System wird um den Winkel –Ω um die z'-Achse (identisch mit der z-Achse) gedreht, womit die x'-Achse auf die x-Achse und die y'-Achse auf die y-Achse zu liegen kommt: wir haben die Transformation ins gewünschte Koordinatensystem erreicht. Das Ergebnis dieser Transformation wird durch folgende Gleichungen beschrieben:^[3]

x\quad =\quad r\cdot (\cos u\;\cos \Omega \;-\;\sin u\;\cos i\;\sin \Omega )\quad =\quad r\cos v\cdot P_{x}\;+\;r\sin v\cdot Q_{x}

y\quad =\quad r\cdot (\cos u\;\sin \Omega \;+\;\sin u\;\cos i\;\cos \Omega )\quad =\quad r\cos v\cdot P_{y}\;+\;r\sin v\cdot Q_{y}

z\quad =\quad r\cdot (\sin u\;\sin i)\quad =\quad r\cos v\cdot P_{z}\;+\;r\sin v\cdot Q_{z}

In diesem Gleichungssystem bedeuten $u=\omega +v$ die Länge des Planeten von der x"-Achse aus gemessen; ferner haben wir die Abkürzung P = (P_x, P_y, P_z) bzw. Q = (Q_x, Q_y, Q_z) benutzt, wobei gilt:

P_{x}\quad =\quad +\cos \omega \;\cos \Omega \;-\;\sin \omega \;\cos i\;\sin \Omega

P_{y}\quad =\quad +\cos \omega \;\sin \Omega \;+\;\sin \omega \;\cos i\;\cos \Omega

P_{z}\quad =\quad +\sin \omega \;\sin i

Q_{x}\quad =\quad -\sin \omega \;\cos \Omega \;-\;\cos \omega \;\cos i\;\sin \Omega

Q_{y}\quad =\quad -\sin \omega \;\sin \Omega \;+\;\cos \omega \;\cos i\;\cos \Omega

Q_{z}\quad =\quad +\cos \omega \;\sin i

P und Q sind zwei Vektoren, wobei P in der Bahnebene in Richtung des Perihels zeigt, und Q dazu senkrecht steht. Zu Ehren des großen deutschen Mathematikers werden sie Gauss'sche Vektoren genannt. Sie haben den großen Vorteil, nur von den drei Bahnelementen Ω, ω und i abhängig zu sein. Wenn man mittels oskulierender Elemente Ephemeriden für Asteroiden oder Kometen berechnet, bleiben die Gauss'schen Vektoren konstant – sie müssen also nur einmal berechnet werden. Sind die heliozentrischen, ekliptikalen Koordinaten x, y, z berechnet, können daraus die heliozentrischen Ekliptikkoordinaten r, l und b berechnet werden, oder wenn die Koordinaten X_⊙, Y_⊙ und Z_⊙ der Sonne bekannt sind, können daraus geozentrische Ekliptikkoordinaten Δ, λ und β berechnet werden und bei bekannter Schiefe der Ekliptik ε schliesslich die Äquatorkoordinaten α und δ.

Beispielrechnung

Der Asteroid 4 Vesta steht am 1.11.2008 in Opposition zur Sonne. Wir berechnen für den 30.10.2008 ihre Position nach der vorgestellten Methode. Auf dem Server der russischen Akademie der Wissenschaften (Institut für angewandte Astronomie) findet man die Bahnelemente von nahezu 200 000 Asteroiden^[4]. Für 4Vesta lauten die benötigten Daten:

Name = 4 Vesta; H = 3.20; G = 0.32; Epoch = 2008 10 11; JD = 2454750.5; Mean.anm. M = 131.28843°; Perihel. ω = 149.84691°; Node Ω = 103.91448°; Incl. i = 7.13521°; Eccentr. e = 0.0890999; Mean mot. n = 0.27165141°/day; Semim.axis a = 2.3611744 AE; (…) H und G sind Parameter zur Bestimmung der Helligkeit, auf die wir später eingehen werden. Die weggelassenen Daten geben Hinweise auf die Genauigkeit der Elemente und die Quellen.

Die folgende Tabelle gibt eine Übersicht über die Rechnungen:

Größe	Erde (bzw. Sonne)		Asteroid
Datum 0 :	21.10.2008	21.10.2008	11.10.2008	11.10.2008
T₀ =	2 454 760.50	2 454 760.50	2 454 750.50	2 454 750.50
Datum 1 :	30.10.2008	30.10.2008	30.10.2008	30.10.2008
T₁ =	2 454 769.50	2 454 769.50	2 454 769.50	2 454 769.50
M₀ =	286.6739000	5.0034034	131.2884300	2.2914154
a =		0.9999930		2.3611744
e =		0.0167270		0.0890999
i =	0.0000000	0.0000000	7.1352100	0.1245329
Ω =	–	–	103.9144800	1.8136498
ω =	103.1390000	1.8001151	149.8469100	2.6153220
L₀ =	29.8129000	0.5203333	–	–
n =	0.9856190	0.0172023	0.2716514	0.0047412

d = T₁ - T₀	9.0000000	9.0000000	19.0000000	19.0000000
M = M₀ + d ∙ n	295.5444710	5.1582241	136.4498068	2.3814984
E(M) =	294.6735845	5.1430243	139.7484091	2.4390699
v =	293.7996024	5.1277704	142.9438618	2.4948410

x_helio =		0.7936933		2.0042555
y_helio =		0.5967584		1.5029109
z_helio =		0.0000000		–0.2887734

r =		0.9930104		2.5217398
l =	36.9386024	0.6447002	36.8647607	0.6434115
b =	0.0000000	0.0000000	–6.5755679	–0.1147653

x_geo =	(der Sonne:)	–0.7936933		1.2105622
y_geo =		–0.5967584		0.9061525
z_geo =		0.0000000		–0.2887734

Δ =		0.9930104		1.5394685
λ =	216.9386024	3.7862929	36.8162696	0.6425651
β =	0.0000000	0.0000000	–10.8115839	–0.1886977

ε(30.10.08) =	23.4399500	0.4091043	23.4399500	0.4091043

Δ =		0.9930104		1.5394685
α =	14.3066017	3.7454596	2.5342151	0.6634560
δ =	–13.8307163	–0.2413915	3.5570874	0.0620829

In der ersten Spalte für jeden Himmelskörper stehen die Winkelgrößen in Grad, in der zweiten Spalte die gleichen Größen im Bogenmaß. Erstens sind gewisse Gleichungen wie z.B. die Keplergleichung ausdrücklich im Bogenmaß formuliert, zweitens verwenden viele Software-Pakete im Zusammenhang mit den Winkelfunktionen ausschliesslich das Bogenmaß. Doch ist das Gradmaß für die meisten Menschen anschaulicher. T₀ bzw. Datum 0 ist das Datum der Epoche, für die die Bahnelemente gegeben sind. T₁ bzw. Datum 1 ist das Datum, für das gerechnet wird. In den folgenden Zeilen stehen die Bahnelemente. Da die Erdbahnebene gleich der Ekliptik ist, ist i = 0, Ω ist undefiniert, und ω ist die von der Achse zum Frühlingspunkt aus gemessene Länge des Perihels. Für die Erde ist nicht die mittlere Anomalie M₀ zur Epoche T₀ angegeben, sondern die mittlere Länge L₀ = ω + M₀. Die mittlere Anomalie muss also zuerst berechnet werden. In den folgenden fünf Zeilen sind die Daten und Lösungswerte der Keplergleichung. Daraus berechnet man die heliozentrischen kartesischen Koordinaten x_helio = (x_helio, y_helio, z_helio). Für den Asteroiden benutzt man dazu die Gauß'schen Vektoren P = (P_x, P_y, P_z) = (–0.2758623, –0.9591700, 0.0623928) und Q = (Q_x, Q_y, Q_z) = (0.9536057, –0.2812484, –0.1074038). Der Abstand r zur Sonne wird für beide Himmelskörper nach der Formel

r\quad =\quad {\frac {a\cdot (1-e^{2})}{1+e\cdot \cos v}}

berechnet. Für die Erde können die Gauß'schen Vektoren nicht berechnet werden, da Ω nicht bestimmt ist. Aber da die heliozentrische x-Achse zum Frühlingspunkt zeigt, und die wahre Länge der Erde bezüglich dieser Achse ω + v beträgt, berechnen sich für die Erde die drei Koordinaten wie folgt (die Erdbahnebene ist die Ekliptik, darum ist die z-Komponente Null):

x\quad =\quad r\cdot \cos(v+\omega )\;{\text{;}}\qquad y\quad =\quad r\cdot \sin(v+\omega )\;{\text{;}}\qquad z\quad =\quad 0

Daraus werden die heliozentrischen ekliptikalen Koordinaten (r, l, b) berechnet. Als nächstes werden für die Sonne und den Asteroiden die geozentrischen ekliptikalen kartesischen Koordinaten berechnet. Dabei gilt: x_geo⊙ = –x_helio⊕. Für den Asteroiden gehen wir vor, wie im Kapitel „Koordinatentransformation“ beschrieben. Daraus werden die geozentrischen ekliptikalen Koordinaten (Δ, λ, β) berechnet, und mit der Schiefe der Ekliptik ε zur Epoche 30.10.08 schließlich die rotierenden Äquatorkoordinaten (α, δ).

Zur Interpretation der Ergebnisse folgende Bemerkungen:

Alle Zwischenergebnisse wurden immer mit voller Stellenzahl weiterverwendet – das Endergebnis soll aber vernünftig gerundet werden.

Die Tatsache, dass die heliozentrische ekliptikale Länge für die Erde und den Asteroiden fast gleich ist (l_⊕ = 36.939°, l_A = 36.865°) zeigt, dass der Asteroid am Erdhimmel nahe der Oppositionsstellung zur Sonne steht. Das genaue Datum der Opposition ist 2008–11–1.9

Gerundet lauten die Koordinaten: α_⊙ = 14^h 18.4^m, δ_⊙ = –13° 50'; α_A = 2^h 32.1^m, δ_A = 3° 33'; aus dem Jahrbuch der Sternenhimmel wurden für den 30.10.2008 durch lineare Interpolation folgende Werte für die Koordinaten gefunden: α_⊙ = 14^h 18.4^m, δ_⊙ = –13° 49'; α_A = 2^h 32.3^m, δ_A = 3° 35'.

Bei den Berechnungen haben wir nicht berücksichtigt: Unterschied UT zu TT; die Lichtzeit; Epochenunterschiede: die Vestakoordinaten im Jahrbuch sind für die Epoche J2000.0 berechnet (damit sie sich problemlos in eine Sternkarte eintragen lassen), unsere Koordinaten sind zur aktuellen Epoche gerechnet; die Epoche der oskulierenden Bahnelemente und der Zeitpunkt der berechneten Ephemeriden sind nicht identisch. Zudem sind einzelne Bahnelemente mit einer vergleichsweise geringen Genauigkeit angegeben.

Angesichts dieser nicht berücksichtigten Effekte dürfen die Resultate bereits als sehr befriedigend bezeichnet werden. Das Ziel ist es aber, noch genauere Ergebnisse zu rechnen.

Übungen:

Wiederholen Sie die Rechnung für die Vesta zum genauen Oppositionszeitpunkt 2008–11–01.9.

Mars soll nach dem Jahrbuch der »Sternenhimmel 2008« am 5. Dezember 2008 um 23:04^h in Konjunktion zur Sonne stehen. Berechnen Sie für diesen Zeitpunkt mittels der oskulierenden Bahnelemente nach vorstehendem Muster eine Ephemeride für den Planeten und bestätigen Sie so die Aussage. Berücksichtigen Sie in einem zweiten Durchgang den Effekt der Lichtzeit. Welche Verbesserung bringt das für die Ephemeride?

Nachweise:

↑ P. Bretagnon „Théorie du mouvement de l'ensemble des planètes. Solutions VSOP82“. Astronomy and Astrophysics 214 (1982)
↑ Das britisch-amerikanische Jahrbuch liefert für die großen Planeten jährlich oskulierende Elemente im Abstand von 40 Tagen.
↑ Einführung in die Himmelsmechanik- Deutsche Ausgabe von DR. W. Fender, Seite 178.
↑ Link: http://www.ipa.nw.ru/PAGE/DEPFUND/LSBSS/enguemp.htm

[ftn16-1] P. Bretagnon „Théorie du mouvement de l'ensemble des planètes. Solutions VSOP82“. Astronomy and Astrophysics 214 (1982)

[ftn0-2] Das britisch-amerikanische Jahrbuch liefert für die großen Planeten jährlich oskulierende Elemente im Abstand von 40 Tagen.

[3] Einführung in die Himmelsmechanik- Deutsche Ausgabe von DR. W. Fender, Seite 178.

[4] Link: http://www.ipa.nw.ru/PAGE/DEPFUND/LSBSS/enguemp.htm

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