Astronomische Berechnungen für Amateure/ Kalender/ Festkalender

Festkalender

Die Grafik zeigt die Daten von Ostern und Muttertag von 2000 bis 2020 zur Illustration des Unterschiedes zwischen einem beweglichen und einem halbfixen Feiertag

Es gibt drei verschiedene Arten von Festtagen:

• Festtage, die unverändert immer am gleichen Datum stattfinden; Beispiel: Weihnachten ist am 25. Dezember (fixer Festtag)

• Festtage, bei denen das bestimmende Ereignis immer an einem anderen Datum stattfindet; Beispiel: Ostern wird bestimmt durch den Frühlings- oder Ostervollmond (beweglicher Festtag, Schwankung gut ein Monat)

• Festtage, die an einem bestimmten Wochentag, aber an wenig wechselnden Kalenderdaten stattfinden; Beispiel: Muttertag ist der 2. Sonntag im Mai (halbfixer Festtag, wochentagsgebunden, Schwankung um eine Woche)

Die Festtage vom fixen Typ sind unproblematisch, beim Erstellen eines Kalenders erhebt sich nur die Frage, auf welchen Wochentag das Fest fällt. Für die Festtage vom halbfixen Typ ist in der Regel der Wochentag klar, die Frage erhebt sich, welchem Kalenderdatum dies entspricht. Am schwierigsten ist die Frage zu beantworten, an welchem Datum die beweglichen Festtage in einem bestimmten Jahr stattfinden.

Nachstehend eine Zusammenstellung der wichtigsten kirchlichen und weltlichen Feiertage im deutschsprachigen Raum als Jahresfestkalender:

Jahresfestkalender

Fest	Typ	Datum / Berechnung	Bemerkung
Neujahr	fix	1. Januar	Beginn Kalenderjahr
Dreikönigstag /Epiphanias	fix	6. Januar
Schmutziger Donnerstag /Weiberfasnacht	beweglich	O – 52 Tage	Beginn der Fasnacht
Rosenmontag	beweglich	O – 48 Tage
Aschermittwoch	beweglich	O – 46 Tage	Beginn Fastenzeit
Valentinstag	fix	14. Februar
Palmsonntag	beweglich	O – 7 Tage	Beginn Karwoche
Karfreitag	beweglich	O – 2 Tage
Ostern, Ostersonntag	beweglich	(Osterformel)	Kürzel: O
Tag der Arbeit	fix	1. Mai
Auffahrt / Christi Himmelfahrt	beweglich	O + 39 Tage
Muttertag	halbfix	2. Sonntag Mai
Pfingsten	beweglich	O + 49 Tage
Fronleichnam	beweglich	O + 60 Tage	Ende Osterzyklus
Nationalfeiertag	fix	1. August	Schweiz
Mariä Himmelfahrt	fix	15. August
Eidg. Dank-, Buss- und Bettag	halbfix	3. Sonntag Sept.	Schweiz
Tag der deutschen Einheit	fix	3. Oktober	Nationalfeiertag D
Nationalfeiertag	fix	26. Oktober	Österreich
Allerheiligen	fix	1. November
Buss- und Bettag	halbfix	Mittwoch vor Totensonntag	Deutschland, Österreich
Totensonntag	halbfix	1 Woche vor 1. Advent	Ende des Kirchenjahres
Advent	halbfix	Sonntage vor Weihnacht	1. bis 4. Advent; 1. Advent: Beginn Kirchenjahr
Nikolaus	fix	6. Dezember
Mariä Empfängnis	fix	8. Dezember
Heiligabend	fix	24. Dezember
Weihnacht	fix	25. Dezember
Stephanstag	fix	26. Dezember
Silvester	fix	31. Dezember	Ende Kalenderjahr

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Ostern im julianischen Kalender

Bei den beweglichen Festtagen hängt alles vom Osterdatum ab. Die Regel zur Bestimmung des Osterdatums wurde 325 auf dem Konzil zu Nicäa festgelegt:

• Ostern wird an einem Sonntag gefeiert

• Ostern wird nach dem Frühlingsvollmond gefeiert

• Frühlingsvollmond ist der erste Vollmond, der am Tag des Frühlingsbeginns (21. März, Tag-und-Nacht-Gleiche nach dem Winterhalbjahr) oder danach stattfindet.

• Ostern darf nicht mit dem jüdischen Passahfest zusammen fallen; in diesem Fall wird Ostern 1 Woche später gefeiert

Der frühest mögliche Ostertermin tritt ein, wenn der Vollmond auf den 21. März fällt (sog. Ostergrenze) und dieser Tag ein Samstag ist. Dann findet Ostern am 22. März statt. Dieser Fall tritt sehr selten ein, das letzte Mal 1818. Das nächste Mal wird Ostern erst 2285 wieder auf dieses Datum fallen. Fällt der Vollmond auf den 20. März, dann ist am 18. April der für Ostern massgebende Vollmondtermin (Ostergrenze). Ist dieses Datum ein Sonntag, dann findet Ostern 7 Tage später am 25. April als spätestem Osterdatum statt. Dieser Fall trat letztmals 1943 auf und wird sich 2038 wiederholen.

Ostern wurde nicht nach dem exakten, astronomischen Mondlauf bestimmt, sondern nach einem vereinfachten Lauf. Es kann daher vorkommen, dass Ostern astronomisch zum falschen Zeitpunkt gefeiert wird (sog. Osterparadoxie). Das letzte Mal geschah dies bezogen auf die Mitteleuropäische Zeitzone 1974, das nächste Mal wird das 2019 der Fall sein: der astronomische Frühlingsanfang ist am 20. März um 22:59 h MEZ, der astronomische Vollmond tritt am 21. März um 2:43 h MEZ ein. Demnach müsste Ostern nach den astronomischen Ereignissen am folgenden Sonntag 24. März gefeiert werden. Tatsächlich fällt die kirchliche Ostergrenze (dh. der für Ostern massgebende Vollmondtermin) auf den 18. April, und Ostern wird am 21. April 2019 gefeiert – wenn nicht in der Zwischenzeit die Osterregel geändert wird.

Die kirchliche Osterrechnung nutzt für ihre Berechnungen die Tatsache, dass 19 Umläufe der Erde um die Sonne (salopp: 19 Jahre) ziemlich genau 235 synodischen Monaten entsprechen:

19 ∙ 365.24219 = 6939.6016 Tage bzw. 6939 Tage 14.439 Stunden

235 ∙ 29.53059 Tage = 6939.6887 Tage bzw. 6939 Tage 16.528 Stunden

Erst nach rund 11½ Zyklen oder rund 218 Jahren wird sich dieser kleine Unterschied von ca. 2 Stunden auf 1 Tag summiert haben. Dieser Zyklus von 19 Jahren wird nach seinem Entdecker, dem Astronomen Meton von Athen (5. Jhdt. v. Chr.) Meton-Zyklus genannt. Er hat zur Folge, dass sich die Mondphasen nach 19 Erdumläufen um die Sonne oder nach 19 Jahren praktisch wiederholen.

Die Goldene Zahl GZ eines Jahres gibt in der kirchlichen Kalenderrechnung an, um welches Jahr innerhalb eines Meton-Zyklus es sich handelt. Der Beginn der Zählung ist das Jahr 1 v. Chr. = 0, dh. dieses Jahr hat die Goldene Zahl I. Es ist üblich, die Goldenen Zahlen mit römischen Zahlzeichen zu schreiben. Für ein beliebiges Jahr finden wir sehr leicht die Goldene Zahl:

$GZ\quad =\quad \operatorname {Rest} (Jahr,19)\;+\;1$

M.a.W.: wir nehmen den Divisionsrest, wenn wir die Jahrzahl durch 19 teilen, und erhöhen diesen Rest um 1. Ist z.B. Jahr = 2008, so ist Rest(2008,19) = 13, die Goldene Zahl des Jahres 2008 folglich GZ = XIV (14).

Für die Berechnung des Osterdatums wird eine zweite Zahl benötigt, die sogenannte Epakte E. In der Rechenvorschrift von Dionysius (gültig für den julianischen Kalender) handelt es sich um das Mondalter am 22. März. Als Mondalter bezeichnet man die seit dem letzten Neumond verstrichene Zeit in Tagen. Das Mondalter 14 bezeichnet z. B. den Vollmond, das Mondalter 0 den Neumond. Dionysius berechnete die Epakte auf sehr einfache Weise: er ging davon aus, dass 12 synodische Monate 12 ∙ 29.53059 Tage = 354.367 Tage um 11 Tage kürzer sind als ein Jahr. M. a. W.: ist die Epakte für ein bestimmtes Jahr bekannt, so finden Sie sie im Folgejahr, indem Sie 11 hinzu zählen. Wird der Wert der so berechneten Epakte grösser als 29, so wird 30 subtrahiert. Ist also für das Jahr mit der Goldenen Zahl GZ = I die Epakte E = 0, so ergibt sich nach Dionysius folgende Reihe der Epakten:

Zusammenhang zwischen Goldener Zahl GZ und Epakte E

GZ I II III IV V VI VII VIII IX X E 0 11 22 3 14 25 6 17 28 9

GZ XI XII XIII XIV XV XVI XVII XVIII XIX E 20 1 12 23 4 15 26 7 18

Danach beginnt die Reihe wieder von vorn, denn nach Ablauf der 19 Jahre eines Meton-Zyklus wiederholen sich die Mondphasen am gleichen Datum.Dabei nimmt aber die Epakte um 12 und nicht 11 Einheiten zu: 18 + 12 = 30, da 30 > 29 ist, muss 30 subtrahiert werden, was für GZ = I wieder E = 0 ergibt. Diese Ausnahme nennt man Mondsprung.

Als letztes Hilfsmittel zur Berechnung des Osterdatums benötigte man den Sonntagsbuchstaben des Jahres. Jedem Tag des Jahres wird ein Buchstabe von A bis G zugeordnet, und zwar dem 1., 8., 15. Januar, ... der Buchstabe A, dem 2., 9., 16. Januar, ... der Buchstabe B, dem 3., 10., 17. Januar, ... der Buchstabe C, usw. Alle Tage mit gleichem Buchstaben haben den gleichen Wochentag. Als Sonntagsbuchstabe wird der Buchstabe des ersten Sonntags im Jahr bezeichnet. Ein Schaltjahr hat zwei Sonntagsbuchstaben, wobei der erste für Januar und Februar, der zweite für den Rest des Jahres gilt. Für das Jahr 2008 lauten die beiden Sonntagsbuchstaben FE.

Meist wurden in früheren Zeiten Tabellen erstellt, um mit Hilfe der Goldenen Zahl, der Epakte oder der Ostergrenze (Luna Paschae XIV) und des Sonntagsbuchstabens das genaue Osterdatum zu ermitteln Wir zeigen hier, wie man mittels Tafeln Ostern bestimmen kann. Im julianischen Kalender konnte man – gestützt auf die Vorgaben des Dionysius – sehr einfach einen immerwährenden Kalender der Ostervollmonde erstellen, indem man vom Meton-Zyklus ausging:

Ostergrenze T, Tagesbuchstabe Tb und Goldene Zahl GZ im julianischen Kalender

T 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Tb C D E F G A B C D E GZ 16 5 – 13 2 – 10 – 18 7

T 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tb F G A B C D E F G A GZ – 15 4 – 12 1 – 9 – 17

T 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Tb B C D E F G A B C GZ 6 – 14 3 – 11 – 19 8

Die Ostergrenze bezeichnet Kalenderdaten, und zwar im März für 21 – 31, im April für 1 – 18. Striche bedeuten: es gibt keine Goldene Zahl (also kein Jahr) mit dieser Ostergrenze.

Beispiel:

In einem Jahr mit GZ = 13 ist der 24. März die Ostergrenze, dieser Tag hat den Tagesbuchstaben Tb = F, und die Dionysische Epakte beträgt in diesem Jahr 12.

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Ostern im gregorianischen Kalender

In der Rechenvorschrift des Astronomen Aloisius Lilius (1510? – 1576), die der Gregorianischen Reform zugrunde lag, bezeichnet die Epakte das Mondalter am 1. Januar. Für die Berechnung der Epakte nach Lilius kann man für GZ = 1 nicht mehr in dieser einfachen Weise verfahren: zum einen muss in den Säkularjahren die geänderte Schaltregel berücksichtigt werden, die Epakte wird um 1 vermindert, wenn das Jahr nach dem julianischen, nicht aber nach dem gregorianischen Kalender ein Schaltjahr ist (Sonnengleichung). Eine zweite Korrektur führt 8-mal in 2500 Jahren zu einer zusätzlichen Erhöhung der Epakte um 1 Tag (Mondgleichung): zum ersten Mal 1800, dann 7 mal jeweils nach 300 Jahren. Danach dauert es 400 Jahre, bis wieder ein neuer Zyklus beginnt. Diese Korrektur berücksichtigt, dass 12 synodische Monate nicht genau 11 Tage kürzer sind als 1 Jahr. Die Lilianischen Epakten treffen also den Mondlauf besser als die Dionysischen, sind aber komplizierter zu berechnen. Die Lilianische Epakte des Jahres 2008 betrug 22.

Im gregorianischen Kalender kommt es also darauf an, wie gross Sonnen- und Mondgleichung sind, also in welchem Jahrhundert das Jahr mit einer bestimmten Goldenen Zahl liegt. Je nach Lage ist die Ostergrenze verschoben. Für einige Jahrhunderte ergibt dies die folgende Tabelle:

Ostergrenze und Goldene Zahl im julianischen und gregorianischen Kalender

GZ	jul. Kalender	1900 – 2199	2200 – 2299	2400 – 2499	2300 – 2399	2500 – 2599	2600 – 2899
1	5	14	15		16		17
2	25	3	4		5		6
3	13	23	24		25		26
4	2	11	12		13		14
5	22	31	1		2		3
6	10	*19	21		22		23
7	30	8	9		10		11
8	18	28	29		30		31
9	7	16	17		18		*19
10	27	5	6		7		8
11	15	25	26		27		28
12	4	13	14		15		16
13	24	2	3		4		5
14	12	22	23		24		25
15	1	10	11		12		13
16	21	30	31		1		2
17	9	*18	*19		21		22
18	29	7	8		9		10
19	17	27	28		29		30

Zahlen 1 bis 19 bedeuten Tage im Monat April, 21 bis 31 solche im Monat März. *18 und *19 sind Hinweise auf zwei Ausnahmeregelungen: in der gregorianischen Osterrechnung kann 19 (gemeint ist der 19. April) als äusserste Ostergrenze vorkommen, was theoretisch zum 26. April als äusserstem Osterdatum führen würde. In der julianischen Osterrechnung ist die Ostergrenze 19. April nicht möglich (s. voranstehende Tabelle). Um den neuen Festkalender möglichst nahtlos an den alten anschliessen zu können, verfügte darum Papst Gregor XIII. bei seiner Reform:

• Die Ostergrenze 19. April wird immer um einen Tag auf 18. April zurück gesetzt

• Die Ostergrenze 18. April könnte auf diese Weise im gleichen Meton-Zyklus zweimal vorkommen. Um das zu vermeiden, wird die Ostergrenze 18. April auf den 17. April zurückgesetzt, wenn gleichzeitig GZ > 11 ist. In diesem Fall kommt die Ostergrenze 17. April in diesem Meton-Zyklus nicht vor und kann somit „besetzt“ werden, ohne eine weitere Korrektur vornehmen zu müssen. In der obigen Tabelle entspricht jede Spalte jeweils einem bestimmten Meton-Zyklus.

Beispiel:

Gregorianische Ostern 2008? Es ist GZ(2008) = 14, und aus obiger Tabelle entnehmen wir, dass die Ostergrenze auf den 22. März zu liegen kommt. Aus der ersten Tabelle entnehmen wir den Zusammenhang zwischen Datum und Tagesbuchstaben, der sowohl für den julianischen wie den gregorianischen Kalender gilt. Der 22. März hat danach den Tagesbuchstaben D. Der Sonntagsbuchstabe für das Jahr 2008 ist FE, also E ab 1. März. Folglich ist D der Buchstabe für einen Samstag, der Ostertermin ist also 23. März 2008.

Julianische Ostern 2008? Es ist wiederum GZ(2008) = 14, und aus der ersten Tabelle oder der 2. Spalte der zweiten Tabelle entnehmen wir, dass die Ostergrenze auf den 12. April zu liegen kommt. Dies ist aber ein Datum im julianischen Kalender! Um das entsprechende Datum im gregorianischen Kalender zu finden, sind im 20. und 21. Jahrhundert 13 Tage hinzuzuzählen, was den 25. April ergibt, und das ist ein Freitag. Somit fiel das orthodoxe Osterfest, berechnet nach dem julianischen Kalender, auf den 27. April im gregorianischen Kalender.

Osterdatum gregorianisch und julianisch im Jahr 2011? GZ(2011) = 17, Ostergrenze gregorianisch = *18, also 17. April (da GZ > 11). Sonntagsbuchstabe ist B, der 17. April hat Tagesbuchstabe B, ist also ein Sonntag. Folglich wird Ostern am darauffolgenden Sonntag 24. April gefeiert. Julianisch ist mit GZ = 17 die Ostergrenze der 9. April, was dem gregorianischen Datum Freitag 22. April entspricht. Die orthodoxen Kirchen feiern also 2011 Ostern mit den Westkirchen gemeinsam am 24. April.

Wer sich vertieft mit der Komputistik – so nennen die Fachleute die Mathematik der Kalenderrechnung, speziell aber die Osterrechnung – auseinander setzen möchte, sei auf ein hundertjähriges Werk [!] aufmerksam gemacht, das in seiner Gesamtheit ins Internet übertragen worden ist. Es handelt sich um das Werk »Die Osterfest-Berechnung in alter und neuer Zeit«, 1907 in Strassburg von Dr. Josef Bach herausgegeben.

Erst im Jahre 1800 gelang es dem grossen Mathematiker Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), ein Verfahren zu entwickeln, um das Osterdatum ohne Bezugnahme auf Tabellen zu berechnen. Dieses Verfahren ist unter dem Namen Gauss'sche Osterformel bekannt. Später sind weitere Verfahren entwickelt worden, eines davon werden wir im Kapitel „Kalenderrechnungen“ vorstellen.

Der Osterzyklus, dh. die Zeit, bis sich Osterdaten wieder wiederholen, beträgt im julianischen Kalender 532 Jahre (532 = 19 ∙ 28), im gregorianischen Kalender dagegen 5 700 000 Jahre! Diese Zahl entsteht als Produkt der Zahlen 19 (Meton-Zyklus), 30 (Zyklus der Epakte), 400 (Zyklus der Schaltregeln bzw. der Sonnengleichung) und 2500 (Zyklus der Mondgleichung).

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Übungen

• Erstellen Sie eine Tabelle, die den Zusammenhang zwischen den Tagen im Jahr und den Tagesbuchstaben herstellt! Erstellen Sie eine zweite Tabelle für den gregorianischen Kalender, die im 20. und 21. Jahrhundert den Zusammenhang zwischen Goldener Zahl und Sonntagsbuchstabe des Jahres herstellt!

• Erstellen Sie für 2009 einen Festkalender! Benutzen Sie für die Bestimmung der beweglichen Feste die bisher erstellten Tabellen: julianische Daten für 2009, Tagesbuchstabe im Jahr, Goldene Zahl und Sonntagsbuchstabe, Ostergrenze und Goldene Zahl, sowie den Jahresfestkalender.

• Nach wie vielen Jahren ist der Unterschied zwischen 12 synodischen Monaten plus 11 Tagen und einem astronomischen Jahr zu 1 Tag angewachsen?

• Nach wie vielen Jahren ist der Unterschied zwischen 1 Meton-Zyklus (= 235 synodische Monate) und 19 Kalenderjahren auf 1 Tag angewachsen?

• Bestimmen Sie das Osterdatum für 1981 – was stellen Sie fest?

Nachweise:

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