Astronomische Berechnungen für Amateure/ Positionsastronomie/ Positionsbestimmung

Die Grundaufgabe der Positionsbestimmung ist so alt wie die Entdeckerlust des Menschen oder die Seefahrt auf dem Meer: durch Beobachtung von Himmelskörpern (Sonne, Mond, Sterne) soll in einer unbekannten Umgebung die eigene Position bestimmt werden. Heute kann man die Aufgabe noch etwas verfeinern: aus astronomischen Beobachtungen sollen die geografischen Koordinaten Länge λ und Breite φ berechnet werden.

Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Vorgehensweisen. Beim ersten Verfahren werden Länge und Breite aus separaten Beobachtungen voneinander unabhängig bestimmt. Beim zweiten Verfahren werden beide Grössen aus den gleichen Messungen ermittelt.

Zunächst das erste Verfahren: die Bestimmung der geografischen Breite beruht darauf, dass der Himmelspol die Höhe über Horizont h = φ bzw. die Zenitdistanz z = 90° – φ hat. Da direkt am Himmelspol kein markantes Himmelsobjekt steht, ist die Bestimmung seiner Höhe oder Zenitdistanz nicht so einfach. Einfacher ist es über die Beobachtung von Sternen im Zenit: damit ein Stern im Zenit kulminiert, muss seine Deklination δ = φ betragen (s. Kapitel Koordinatentransformationen). Hat man einen markanten Stern mit bekannten Koordinaten im rotierenden Äquatorsystem, dann ist die Aufgabe gelöst. Analoges Vorgehen bei der Bestimmung der Länge: wenn ein Stern mit bekannter Rektaszension kulminiert, ist sein Stundenwinkel 0. Es gilt dann, wenn θ₀ die Sternzeit um 0^h in Greenwich ist, t die Uhrzeit (in UT) der Beobachtung, und wenn w = 1.002 737 909 35 das Verhältnis von Stern- zu Sonnenzeit bezeichnet:

$\tau \quad =\quad \theta \;-\;\alpha \quad =\quad \theta _{0}\;+\;w\cdot t\;+\;\lambda \;-\;\alpha \quad =\quad 0$

Diese Gleichung kann man nach λ auflösen. Obschon damit die Grundaufgabe gelöst ist, vermag die Lösung in der Praxis nicht zu überzeugen. Helle und damit auffällige, leicht identifizierbare Himmelskörper müssen sich an einem bestimmten Punkt des Himmels aufhalten – ein Erfordernis, das nur ab und zu erfüllt ist.

Wird dagegen von einem hellen, leicht identifizierbaren Stern mit bekannter Rektaszension und Deklination die Höhen h₁ und h₂ zu zwei verschiedenen Zeiten t₁ und t₂ (UT) bestimmt, so erhalten wir für jede Höhe eine Gleichung für die Breite als Funktion der Länge. Sie beschreibt je einen Kreis auf der Erdoberfläche. Die beiden Kreise schneiden sich in zwei Punkten, von denen einer der gesuchte, eigene Standort ist. Oft ist klar, um welchen der beiden Schnittpunkte es sich beim eigenen Standort handelt. Um ganz sicher zu gehen und die Rechnung zu vereinfachen, wählt man aber besser drei Zeitpunkte t₁, t₂ und t₃ und misst deren zugehörige Höhen h₁, h₂ und h₃. Es ist dann:

$\sin h_{i}\quad =\quad \sin \delta \cdot \sin \phi \;+\;\cos \delta \cdot \cos \phi \cdot \cos \tau _{i}\qquad (i\;=\;1,2,3)$

wobei τ_i (i = 1, 2, 3) auf die vorstehende Weise definiert ist. Subtrahieren wir die zweite von der ersten und die dritte von der zweiten Gleichung, so erhalten wir:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikibooks.org/v1/“:): {\displaystyle \sin h_1 \; - \; \sin h_2 \quad = \quad \cos \delta \cdot \cos \phi \cdot (\cos \tau_1 \; - \; \cos \tau_2) }

$\sin h_{2}\;-\;\sin h_{3}\quad =\quad \cos \delta \cdot \cos \phi \cdot (\cos \tau _{2}\;-\;\cos \tau _{3})$

Dividieren wir die erste Gleichung durch die zweite, dann fallen δ und φ völlig aus den Gleichungen heraus. Für die weitere Bearbeitung setzen wir:

$\tau \quad =\quad T\;+\;\lambda ,\qquad {\text{mit}}\quad T\quad =\quad \theta _{0}\;+\;w\cdot t\;-\;\alpha$

Damit erhalten wir:

${\frac {\sin h_{1}\;-\;\sin h_{2}}{\sin h_{2}\;-\;\sin h_{3}}}\quad =\quad H\quad =\quad {\frac {\cos(T_{1}+\lambda )\;-\;\cos(T_{2}+\lambda )}{\cos(T_{2}+\lambda )\;-\;\cos(T_{3}+\lambda )}}$

wo H als Abkürzung für den Quotienten der Sinusdifferenzen eingeführt wurde. Verwenden wir auf der rechten Seite das Additionstheorem für den Cosinus:

${\begin{aligned}&\cos(T_{1}+\lambda )\;-\;\cos(T_{2}+\lambda )\quad \\=&\quad \cos T_{1}\cdot \cos \lambda \;-\;\sin T_{1}\cdot \sin \lambda \;-\;\cos T_{2}\cdot \cos \lambda \;+\;\sin T_{2}\cdot \sin \lambda \end{aligned}}$

und analog für die Differenz im Nenner. Durch Termumformungen erhalten wir daraus:

$\tan \lambda \quad =\quad {\frac {(\cos T_{1}-\cos T_{2})\;-\;H\cdot (\cos T_{2}-\cos T_{3})}{(\sin T_{1}-\sin T_{2})\;-\;H\cdot (\sin T_{2}-\sin T_{3})}}$

Damit ist die geografische Länge bekannt. Danach lässt sich die Breite φ aus der ursprünglichen Gleichung bestimmen. Dazu führen wir drei Hilfsgrössenpaare m_i und M_i (i = 1,2,3) ein, die die folgenden Bedingungen erfüllen:

$m_{i}\cdot \sin M_{i}\quad =\quad \sin \delta$

$m_{i}\cdot \cos M_{i}\quad =\quad \cos \delta \cdot \cos(T_{i}+\lambda )$

Daraus wird:

$\tan M_{i}\quad =\quad {\frac {\tan \delta }{\cos(T_{i}+\lambda )}}$

$m_{i}\quad =\quad {\frac {\sin \delta }{\sin M_{i}}}$

Eingesetzt in den Ausgangsgleichungen erhalten wir:

$\sin h_{i}\quad =\quad m_{i}\cdot \sin M_{i}\cdot \sin \phi \;+\;m_{i}\cdot \cos M_{i}\cos \phi$

$=\quad m_{i}\cdot \left(\cos M_{i}\cdot \cos \phi +\sin M_{i}\cdot \sin \phi \right)$

$=\quad m_{i}\cdot \cos(\phi -M_{i})$

$\cos(\phi -M_{i})\quad =\quad {\frac {\sin h_{i}}{m_{i}}}\qquad \Leftrightarrow \qquad \phi \quad =\quad \arccos \left({\frac {\sin h_{i}}{m_{i}}}\right)\;+\;M_{i}$

Während zur Bestimmung der Länge alle drei Beobachtungswerte nötig sind, genügt für die Bestimmung der Breite grundsätzlich ein einzelner. Es empfiehlt sich, dennoch für alle drei Messungen die Breite zu berechnen. Im allgemeinen wird man drei verschiedene Werte erhalten. Sie sollten im Rahmen der Beobachtungsgenauigkeit übereinstimmen. Tun sie das nicht, ist das ein Hinweis auf einen Fehler in der Rechenprozedur. Eine Fehlerquelle könnte sein, dass für die Winkelfunktionen nicht die richtige Einheit gewählt wurde: Sternzeit und Rektaszension sind in Zeiteinheiten gegeben, die übrigen Winkel in Grad. Je nach Software muss für die Berechnung der Winkelfunktionen von Grad ins Bogenmass umgerechnet werden.

Die vorgestellte Prozedur eignet sich gut für eine astronomische Ortsbestimmung, wenn es etwa darum geht, die Koordinaten eines mobilen Beobachtungsstandortes zu ermitteln. Sie eignet sich aber nicht für die Navigation auf dem Wasser: in der Zwischenzeit zwischen den einzelnen Messungen verändert das Boot infolge seiner Fahrt die Koordinaten!

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