Aufgabensammlung Mathematik: Überprüfung auf Ordnungsrelationen

Überprüfung auf Ordnungsrelationen

Welche der folgenden Relationen sind Totalordnungen bzw. Halbordnung?

1. „$x$ ist eine Teilmenge von $y$“ auf der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ aller Teilmengen von $\mathbb {R}$
2. „$x>y$“ auf der Grundmenge $\mathbb {R}$
3. „$x\geq y$“ auf der Grundmenge $\mathbb {R}$
4. „$x$ ist ein Teiler von $y$“ auf der Grundmenge $\mathbb {N}$

Lösung zur ersten Teilaufgabe

Frage: Ist die Relation reflexiv?

Ja, die Relation ist reflexiv, denn jede Menge ist nach Definition eine Teilmenge von sich selbst (Für alle Mengen $M$ gilt $M\subseteq M$).

Frage: Ist die Relation antisymmterisch?

Ja, die Relation ist antisymmetrisch, weil aus $A\subseteq B$ und $B\subseteq A$ die Gleichheit $A=B$ folgt.

Frage: Ist die Relation transitiv?

Ja, die Relation ist transitiv, weil aus $A\subseteq B$ und $B\subseteq C$ die Beziehung $A\subseteq C$ folgt.

Frage: Ist die Relation linear?

Nein, die Relation ist nicht linear. So ist weder $\{1,2,3\}\subseteq \{4,5,6\}$ noch ist $\{4,5,6\}\subseteq \{1,2,3\}$.

Frage: Ist die Relation eine Halbordnung bzw. eine Totalordnung?

Da die Relation reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, ist sie eine Halbordnung. Da die Relation aber nicht linear ist, ist sie keine Totalordnung.

Lösung zur zweiten Teilaufgabe

Frage: Ist die Relation reflexiv?

Nein. Es ist sogar so, dass keine reelle Zahl $x$ mit sich selbst in Relation steht, da $x\not >x$ ist.

Frage: Ist die Relation also eine Halbordnung bzw. eine Totalordnung?

Die Relation ist weder eine Halb- noch eine Totalordnung, da sie nicht reflexiv ist.

Lösung zur dritten Teilaufgabe

Frage: Ist die Relation reflexiv?

Ja, die Relation ist reflexiv, denn für alle reellen $x$ ist $x\geq x$.

Frage: Ist die Relation antisymmterisch?

Ja, die Relation ist antisymmetrisch, weil aus $x\geq y$ und $y\geq x$ die Gleichheit $x=y$ folgt.

Frage: Ist die Relation transitiv?

Ja, die Relation ist transitiv, weil aus $x\geq y$ und $y\geq z$ die Beziehung $x\geq z$ folgt.

Frage: Ist die Relation linear?

Ja, die Relation ist linear, weil für alle reellen Zahlen $x$ und $y$ ist entweder $x\geq y$ oder $y\geq x$.

Frage: Ist die Relation eine Halbordnung bzw. eine Totalordnung?

Da die Relation reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und linear ist, ist sie eine Totalordnung. Damit ist sie auch eine Halbordnung.

Lösung zur vierten Teilaufgabe

Frage: Ist die Relation reflexiv?

Ja, die Relation ist reflexiv, denn jede natürliche Zahl ist Teiler von sich selbst.

Frage: Ist die Relation antisymmterisch?

Ja, die Relation ist antisymmetrisch. Ist nämlich $x$ ein Teiler von $y$ und $y$ ein Teiler von $x$, dann muss $x=y$ sein.

Frage: Ist die Relation transitiv?

Ja, die Relation ist transitiv. Ist nämlich $x$ ein Teiler von $y$ und $y$ ein Teiler von $z$, dann ist auch $x$ ein Teiler von $z$.

Frage: Ist die Relation linear?

Nein, die Relation ist nicht linear. Beispielsweise ist $2$ kein Teiler von $3$ und $3$ ist kein Teiler von $2$.

Frage: Ist die Relation eine Halbordnung bzw. eine Totalordnung?

Da die Relation reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, ist sie eine Halbordnung. Da die Relation aber nicht linear ist, ist sie keine Totalordnung.