Aufgabensammlung Mathematik: Relationen

Relationen

Äquivalenzrelationen

Überprüfung auf Äquivalenzrelation

Bei welcher der folgenden binären Relationen handelt es sich um eine Äquivalenzrelation?

1. $\mathrm {R} _{a}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ für ein $a\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ mit der Definition $x\,\mathrm {R} _{a}\,y\ :\Leftrightarrow x^{a}-y^{a}=ax-ay$
2. $\mathrm {R} \subseteq \mathbb {R} ^{2}$ mit der Definition $x\,\mathrm {R} \,y\ :\Leftrightarrow \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(y)=1$
3. $\mathrm {mod} _{a}\subseteq \mathbb {Z} ^{2}$ für ein $a\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ mit der Definition $x\ \mathrm {mod} _{a}\ y\ :\Leftrightarrow {\frac {x-y}{a}}\in \mathbb {Z}$
4. $\mathrm {R} \subseteq \mathbb {Z} ^{2}$ mit der Definition $x\,\mathrm {R} \,y:\Leftrightarrow x+y{\text{ ist gerade}}$
5. $\mathrm {R} \subseteq \mathbb {N} ^{2}$ mit der Definition $x\,\mathrm {R} \,y\ :\Leftrightarrow \exists a,b\in \mathbb {N} _{\geq 1}:y=ax^{b}$

Binäre Relationen

Maximale Anzahl binärer Relationen auf einer Menge

Wie viele binäre Relationen sind auf einer m-elementigen Grundmenge $(m\in \mathbb {N} _{\geq 1})$ definierbar?

Gesucht ist eine Relation auf IR,...

..., welche reflexiv, transitiv, symmetrisch und antisymmetrisch ist. Kann eine solche Suche überhaupt erfolgreich sein?

Ordnungsrelationen

Überprüfung auf Ordnungsrelationen

Welche der folgenden Relationen sind Totalordnungen bzw. Halbordnung?

1. „$x$ ist eine Teilmenge von $y$“ auf der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ aller Teilmengen von $\mathbb {R}$
2. „$x>y$“ auf der Grundmenge $\mathbb {R}$
3. „$x\geq y$“ auf der Grundmenge $\mathbb {R}$
4. „$x$ ist ein Teiler von $y$“ auf der Grundmenge $\mathbb {N}$