Aufgabensammlung Mathematik: Gesucht ist eine Relation auf IR,...

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Gesucht ist eine Relation auf IR,...

..., welche reflexiv, transitiv, symmetrisch und antisymmetrisch ist. Kann eine solche Suche überhaupt erfolgreich sein?

Lösung

Nehmen wir an, dass eine solche Relation ist.

Schritt 1: Aus folgt .

Sei . Da symmetrisch ist, muss auch sein. Da außerdem antisymmetrisch ist, folgt .

Schritt 2: Aus folgt .

Sei . Da reflexiv ist, folgt (Wegen Reflexivität ist , woraus folgt, wenn man das zweite durch wegen ersetzt).

Schritt 3: ist die gesuchte Relation.

Aus Schritt 1 und 2 folgt . Damit ist der einzig mögliche Kandidat für die gesuchte Relation. Gleichzeitig ist reflexiv, transitiv, symmetrisch und antisymmetrisch und ist damit die gesuchte Relation.