DGL dx/dt=sin(tx) besitzt eindeutig definierte Lösung
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Zeigen Sie, dass jedes der Anfangswertprobleme
![{\displaystyle x^{\prime }=\sin(tx),\ x(t_{0})=x_{0},\ t_{0},x_{0}\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d85b09d93637f6f6618a6cdfc56fb2bfb2a2dc)
eine eindeutig bestimmte Lösung auf ganz
besitzt.
(Quelle: Aufgabe 4 vom Übungsblatt 4, Vorlesung „Gewöhnliche Differentialgleichungen“ gehalten von Edgardo Stockmeyer Sommersemester 2011, LMU München. Übungsgruppenleiter: Sorin Nedelcu)
Behauptung 1: Die DGL besitzt auf jedem Intervall
mit
eine eindeutige Lösung
Sei
.
ist global Lipschitz-stetig bezüglich
, denn die partielle Ableitung
ist betragsmäßig durch
nach oben beschränkt:
![{\displaystyle |\partial _{x}f(x)|=|\partial _{x}(\sin(tx))|=|t\cdot \cos(tx)|=|t|\cdot |\cos(tx)|\leq |t|\leq \max\{|a|,|b|\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12775b52f487f84eb5347841043e8972978cb009)
Wegen
ist
bezüglich
global Lipschitz-stetig. Damit besitzt die DGL
eine auf ganz
definierte, eindeutige Lösung.
Behauptung 2: Die DGL der Aufgabenstellung besitzt eine eindeutige Lösung
In Behauptung 1 haben wir gezeigt, dass die DGL für jedes Intervall
mit
eine eindeutige Lösung besitzt. Dies können wir ausnutzen, um die eindeutige, globale Lösung der DGL zu konstruieren. Sei nun für jedes
die Funktion
die eindeutige Lösung auf dem Intervall
. Wir definieren:
![{\displaystyle f_{n}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} :x\mapsto {\begin{cases}\lambda _{n}(x)&x\in [t_{0}-n,t_{0}+n]\\0&{\text{sonst}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea74139fd43e3557be70d36f4412a6d93711448c)
konvergiert punktweise gegen eine Funktion
, da
für
und
. Da für jedes
es eine offene Umgebung um
gibt, auf der
mit einem der Löungsfunktionen
übereinstimmt, ist
eine Lösung der oberen DGL. Außerdem folgt daraus gleichzeitig die Eindeutigkeit der Lösung der DGL.