Aufgabensammlung Mathematik: DGL dx/dt=sin(tx) besitzt eindeutig definierte Lösung

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DGL dx/dt=sin(tx) besitzt eindeutig definierte Lösung[Bearbeiten]

Zeigen Sie, dass jedes der Anfangswertprobleme

eine eindeutig bestimmte Lösung auf ganz besitzt.

(Quelle: Aufgabe 4 vom Übungsblatt 4, Vorlesung „Gewöhnliche Differentialgleichungen“ gehalten von Edgardo Stockmeyer Sommersemester 2011, LMU München. Übungsgruppenleiter: Sorin Nedelcu)

Beweis[Bearbeiten]

Behauptung 1: Die DGL besitzt auf jedem Intervall mit eine eindeutige Lösung

Sei . ist global Lipschitz-stetig bezüglich , denn die partielle Ableitung ist betragsmäßig durch nach oben beschränkt:

Wegen ist bezüglich global Lipschitz-stetig. Damit besitzt die DGL eine auf ganz definierte, eindeutige Lösung.

Behauptung 2: Die DGL der Aufgabenstellung besitzt eine eindeutige Lösung

In Behauptung 1 haben wir gezeigt, dass die DGL für jedes Intervall mit eine eindeutige Lösung besitzt. Dies können wir ausnutzen, um die eindeutige, globale Lösung der DGL zu konstruieren. Sei nun für jedes die Funktion die eindeutige Lösung auf dem Intervall . Wir definieren:

konvergiert punktweise gegen eine Funktion , da für und . Da für jedes es eine offene Umgebung um gibt, auf der mit einem der Löungsfunktionen übereinstimmt, ist eine Lösung der oberen DGL. Außerdem folgt daraus gleichzeitig die Eindeutigkeit der Lösung der DGL.