Aufgabensammlung Mathematik: Der Raum beschränkter Funktionen

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Der Raum beschränkter Funktionen

Seien und beliebige metrische Räume, wobei ein vollständiger Raum ist. Sei die Menge aller beschränkter Funktionen von nach . Dabei ist eine Funktion genau dann beschränkt, wenn das Bild beschränkt ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn ist. Es ist also

In diesem Projekt werden wir beweisen, dass unter der Metrik ein vollständiger Raum ist.

B(D,Z) ist ein metrischer Raum

Zeige, dass die Abbildung eine Metrik ist, dass also ausgestattet mit ein metrischer Raum ist.

Beweis

Behauptung 1: erfüllt die Axiome einer Metrik

Folgende drei Behauptungen beweisen, dass eine Metrik ist:

Behauptung 1.1: Es ist

Es ist

Behauptung 1.2: Es ist

Es ist

Behauptung 1.3: Es ist

Es ist

Nun muss noch gezeigt werden, dass immer wohldefiniert ist, dass also niemals unendlich werden kann.

Behauptung 2:

Seien beliebig.

B(D,Z) ist vollständig

Zeige, dass unter der Metrik vollständig ist.

Beweis

Sei eine Cauchyfolge von Funktionen in .

Behauptung 1:

Für alle existiert dann ein , so dass für alle ist. Damit ist auch für alle die Ungleichung für alle erfüllt. Dies beweist, dass für alle die Folge der Funktionswerte eine Cauchyfolge ist.

Behauptung 1 zeigt, dass punktweise konvergiert (weil ein vollständiger Raum ist). Sei die Funktion, gegen die punktweise konvergiert, also .

Behauptung 2: konvergiert auch unter der Metrik gegen

Sei . Wähle so, dass für alle ist. Für ein beliebiges ist dann für alle . Für dieses und gilt dann

Damit ist auch für alle , was beweist, dass gegen unter der Metrik konvergiert.

Momentan ist noch nicht klar, ob auch wirklich ein Element von ist, also dass eine beschränkte Funktion ist.

Behauptung 3:

Weil , existiert ein , so dass . Es ist

Damit ist .

Behauptungen 1-3 beweisen, dass vollständig ist.