Aufgabensammlung Mathematik: Normierte Räume

Normierte Räume

Der Raum beschränkter Funktionen

Seien $(D,d_D)$ und $(Z,d_Z)$ beliebige metrische Räume, wobei $Z$ ein vollständiger Raum ist. Sei $B(D,Z)$ die Menge aller beschränkter Funktionen von $D$ nach $Z$. Dabei ist eine Funktion $f:D\to Z$ genau dann beschränkt, wenn das Bild $f(D)$ beschränkt ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn $\underset{x,y\in D}{sup}\{d_Z(f(x),f(y))\}<\mathrm{\infty }$ ist. Es ist also

$B(D,Z):=\{f:D\to Z:\underset{x,y\in D}{sup}\{d_Z(f(x),f(y))\}<\mathrm{\infty }\}$

In diesem Projekt werden wir beweisen, dass $B(D,Z)$ unter der Metrik $d_B(f,g):=\underset{x\in D}{sup}\{d_Z(f(x),g(x))\}$ ein vollständiger Raum ist.