Aufgabensammlung Mathematik: Fixpunkt für eine stetige Funktion auf kompakten Definitionsbereich

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Fixpunkt für eine stetige Funktion auf kompakten Definitionsbereich

Sei ein kompakter und metrischer Raum, wobei die auf definierte Metrik ist. Sei eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft

für alle mit

Beweise, dass genau einen Fixpunkt besitzt.

Beweis

Existenz eines Fixpunkts

Widerspruchsbeweis: Sei eine Abbildung ohne Fixpunkt.

Behauptung 1: Es gibt ein mit für alle

Wir definieren . Weil ist und damit eine wohldefinierte Abbildung. Weil für alle und ist das Bild von eine Teilmenge von halboffenen Intervall (Es ist für alle ).

Es ist als Verknüpfung stetiger Abbildungen wieder eine stetige Abbildung. Da der Definitionsbereich von ein kompakter Raum ist, ist auch das Bild von kompakt, wobei sein Maximum annimmt. Sei das Maximum von . Es ist also für alle :

Behauptung 2: besitzt einen Fixpunkt (im Widerspruch zur Annahme)

Sei beliebig und rekursiv definiert durch und . Es ist also

Analog zum Beweis des Fixpunktsatzes von Banach lässt sich nun beweisen, dass eine Cauchy-Folge ist:

Behauptung 2.1: ist eine Cauchy-Folge
Behauptung 2.1.1: Für alle ist

Induktionsanfang:

Induktionsschritt:

Behauptung 2.1.2: Für alle ist

Sei . Weil ist, können wir oBdA also und fordern. Es ist nun:

Beweis von Behauptung 2.1: ist eine Cauchy-Folge.

Sei beliebig. Da ist, konvergiert die Reihe . Nach dem Cauchykriterium für Reihen gibt es danach ein , so dass für alle mit und die Ungleichung

erfüllt ist (Weil keine Fixpunkte besitzt, ist ). Damit ist dann für alle mit und :

Damit ist eine Cauchy-Folge.

Beweis von Behauptung 2:

Da als kompakter, metrischer Raum vollständig ist, besitzt die Folge einen Grenzwert in . Sei . Es ist ein Fixpunkt von , denn:

Eindeutigkeit des Fixpunktes

Widerspruchsbeweis: Seien zwei verschiedene Fixpunkte von . Dann ist und . Es ist damit . Dies steht jedoch im Widerspruch zur Ungleichung , welche nach Aufgabenstellung erfüllt.