Aufgabensammlung Mathematik: Fixpunktsätze

Fixpunktsätze

Fixpunkt für eine stetige Funktion auf kompakten Definitionsbereich

Sei $X$ ein kompakter und metrischer Raum, wobei $d$ die auf $X$ definierte Metrik ist. Sei $T:X\rightarrow X$ eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft

$d(T(x),T(y))<d(x,y)$ für alle $x,y\in X$ mit $x\neq y$

Beweise, dass $T$ genau einen Fixpunkt besitzt.