Aufgabensammlung Mathematik: Summe über Kubikzahlen

Summe über Kubikzahlen

Beweise, dass für $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ gilt:

$\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left({\sum _{k=1}^{n}k}\right)^{2}=\left({{n\cdot (n+1)} \over 2}\right)^{2}$

Lösungsweg

Frage: Wie lautet Induktionsvariable und die Aussageform, deren Allgemeingültigkeit in $\mathbb {N} _{\geq 1}$ bewiesen werden soll?

Induktionsvariable: $n$

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit in $\mathbb {N} _{\geq 1}$ bewiesen werden soll:

$A(n):\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left({{n\cdot (n+1)} \over 2}\right)^{2}$

Frage: Wie lautet der Induktionsanfang und beweise diesen.

Induktionsanfang:

${\color {Blue}\sum _{k=1}^{1}k^{3}}={\color {OliveGreen}\left({{1\cdot (1+1)} \over 2}\right)^{2}}$

Linke Seite der Gleichung:

${\color {Blue}\sum _{k=1}^{1}k^{3}}=1^{3}=1$

Rechte Seite der Gleichung:

${\color {OliveGreen}\left({{1\cdot (1+1)} \over 2}\right)^{2}}=\left({2 \over 2}\right)^{2}=1^{2}=1$

Frage: Wie lautet die Induktionsvoraussetzung und die Induktionsbehauptung?

Induktionsvoraussetzung:

$\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left({{n\cdot (n+1)} \over 2}\right)^{2}$

Induktionsbehauptung:

$\sum _{k=1}^{n+1}k^{3}=\left({{(n+1)\cdot (n+2)} \over 2}\right)^{2}$

Aufgabe: Beweise den Induktionsschritt

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}k^{3}&={\color {Blue}\left(\sum _{k=1}^{n}k^{3}\right)}+(n+1)^{3}\\[5px]&\qquad {\color {Blue}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung einsetzen}}\right.}\\[5px]&={\color {Blue}\left({{n\cdot (n+1)} \over 2}\right)^{2}}+(n+1)^{3}\\[5px]&={{n^{2}\cdot (n+1)^{2}} \over 4}+(n+1)^{3}\\[5px]&={{n^{2}\cdot (n+1)^{2}+4\cdot (n+1)^{3}} \over 4}\\[5px]&={{(n+1)^{2}\cdot (n^{2}+4\cdot (n+1))} \over 4}\\[5px]&={{(n+1)^{2}\cdot (n^{2}+4n+4)} \over 4}\\[5px]&={{(n+1)^{2}\cdot (n+2)^{2}} \over 4}\\[5px]&=\left({{(n+1)\cdot (n+2)} \over 2}\right)^{2}\\[5px]\end{aligned}}$

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ bewiesen werden soll:

$\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left({{n\cdot (n+1)} \over 2}\right)^{2}$

1. Induktionsanfang:

$\sum _{k=1}^{1}k^{3}=1^{3}=1=\left({2 \over 2}\right)^{2}=\left({{1\cdot (1+1)} \over 2}\right)^{2}$

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$\sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left({{n\cdot (n+1)} \over 2}\right)^{2}$

2b. Induktionsbehauptung:

$\sum _{k=1}^{n+1}k^{3}=\left({{(n+1)\cdot (n+2)} \over 2}\right)^{2}$

2c. Beweis des Induktionsschritts:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}k^{3}&={\color {Blue}\left(\sum _{k=1}^{n}k^{3}\right)}+(n+1)^{3}\\[5px]&\qquad {\color {Blue}\left\downarrow \ {\text{Induktionsvoraussetzung einsetzen}}\right.}\\[5px]&={\color {Blue}\left({{n\cdot (n+1)} \over 2}\right)^{2}}+(n+1)^{3}\\[5px]&={{n^{2}\cdot (n+1)^{2}} \over 4}+(n+1)^{3}\\[5px]&={{n^{2}\cdot (n+1)^{2}+4\cdot (n+1)^{3}} \over 4}\\[5px]&={{(n+1)^{2}\cdot (n^{2}+4\cdot (n+1))} \over 4}\\[5px]&={{(n+1)^{2}\cdot (n^{2}+4n+4)} \over 4}\\[5px]&={{(n+1)^{2}\cdot (n+2)^{2}} \over 4}\\[5px]&=\left({{(n+1)\cdot (n+2)} \over 2}\right)^{2}\\[5px]\end{aligned}}$