Aufgabensammlung Mathematik: Summe über Quadratzahlen

Summe über Quadratzahlen

Beweise, dass für $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ gilt:

$\sum _{k=1}^{n}k^{2}={{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)} \over 6}$

Lösungsweg

Frage: Wie lautet der Induktionsanfang? Was ist die kleinste sinnvoll einsetzbare natürliche Zahl?

Der Induktionsanfang ist für $n=1$ zu führen. Die linke Seite der Summenformel ergibt:

$\sum _{k=1}^{1}k^{2}=1^{2}=1$

Die rechte Seite der Formel ergibt:

${{1\cdot (1+1)\cdot (2\cdot 1+1)} \over 6}={{1\cdot 2\cdot 3} \over 6}={6 \over 6}=1$

Frage: Wie lautet die Induktionsvoraussetzung und wie lautet die Induktionsbehauptung?

Induktionsvoraussetzung:

$\sum _{k=1}^{n}k^{2}={{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)} \over 6}$

Induktionsbehauptung:

$\sum _{k=1}^{n+1}k^{2}={{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (2n+3)} \over 6}$

Frage: Wie lautet die zu beweisende Gleichung, nachdem du die Induktionsvoraussetzung eingesetzt hast?

Ausgehend von der Induktionsbehauptung erhältst du auf der linken Seite:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}k^{2}&={\color {OliveGreen}\left(\sum _{k=1}^{n}k^{2}\right)}+(n+1)^{2}\\&\qquad \quad {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{ Induktionsvoraussetzung einsetzen }}}\\&={\color {OliveGreen}{{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)} \over 6}}+(n+1)^{2}\\\end{aligned}}$

Damit lautet die zu beweisende Gleichung:

${{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)} \over 6}+(n+1)^{2}={{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (2n+3)} \over 6}$

Aufgabe: Finde die notwendigen Termumformungen, um die linke in die rechte Seite der zu beweisenden Gleichung zu überführen.

Die notwendigen Termumformungen sind:

${\begin{aligned}{{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)} \over 6}+(n+1)^{2}&={{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)+6\cdot (n+1)^{2}} \over 6}\\[5px]&={{(n+1)\cdot (n\cdot (2n+1)+6\cdot (n+1))} \over 6}\\[5px]&={{(n+1)\cdot (2n^{2}+n+6n+6)} \over 6}\\[5px]&={{(n+1)\cdot (2n^{2}+3n+4n+6)} \over 6}\\[5px]&={{(n+1)\cdot (n\cdot (2n+3)+2\cdot (2n+3))} \over 6}\\[5px]&={{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (2n+3)} \over 6}\\[5px]\end{aligned}}$

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ bewiesen werden soll:

$\sum _{k=1}^{n}k^{2}={{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)} \over 6}$

1. Induktionsanfang:

$\sum _{k=1}^{1}k^{2}=1^{2}=1={{1\cdot 2\cdot 3} \over 6}={{1\cdot (1+1)\cdot (2\cdot 1+1)} \over 6}$

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$\sum _{k=1}^{n}k^{2}={{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)} \over 6}$

2b. Induktionsbehauptung:

$\sum _{k=1}^{n+1}k^{2}={{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (2n+3)} \over 6}$

2c. Beweis des Induktionsschritts:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n+1}k^{2}&={\color {OliveGreen}\left(\sum _{k=1}^{n}k^{2}\right)}+(n+1)^{2}\\[5px]&\qquad \quad {\color {OliveGreen}\downarrow {\text{ Induktionsvoraussetzung einsetzen }}}\\[5px]&={\color {OliveGreen}{{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)} \over 6}}+(n+1)^{2}\\[5px]&={{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)+6\cdot (n+1)^{2}} \over 6}\\[5px]&={{(n+1)\cdot (n\cdot (2n+1)+6\cdot (n+1))} \over 6}\\[5px]&={{(n+1)\cdot (2n^{2}+n+6n+6)} \over 6}\\[5px]&={{(n+1)\cdot (2n^{2}+3n+4n+6)} \over 6}\\[5px]&={{(n+1)\cdot (n\cdot (2n+3)+2\cdot (2n+3))} \over 6}\\[5px]&={{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (2n+3)} \over 6}\\[5px]\end{aligned}}$