Aufgabensammlung Mathematik: Summe über Quadratzahlen

Summe über Quadratzahlen

Beweise, dass für $n\in {\mathbb{N}}_{\ge 1}$ gilt:

$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}$

Lösungsweg

Frage: Wie lautet der Induktionsanfang? Was ist die kleinste sinnvoll einsetzbare natürliche Zahl?

Der Induktionsanfang ist für $n=1$ zu führen. Die linke Seite der Summenformel ergibt:

$\sum _{k=1}^1{k}^2=1^2=1$

Die rechte Seite der Formel ergibt:

$\frac{1\cdot (1+1)\cdot (2\cdot 1+1)}{6}=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=\frac{6}{6}=1$

Frage: Wie lautet die Induktionsvoraussetzung und wie lautet die Induktionsbehauptung?

Induktionsvoraussetzung:

$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}$

Induktionsbehauptung:

$\sum _{k=1}^{n+1}{k}^2=\frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (2n+3)}{6}$

Frage: Wie lautet die zu beweisende Gleichung, nachdem du die Induktionsvoraussetzung eingesetzt hast?

Ausgehend von der Induktionsbehauptung erhältst du auf der linken Seite:

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^{n+1}{k}^2& =\left(\sum _{k=1}^n{k}^2\right)+(n+1{)}^2\\ & \downarrow \text{ Induktionsvoraussetzung einsetzen }\\ & =\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}+(n+1{)}^2\\ \end{array}$

Damit lautet die zu beweisende Gleichung:

$\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}+(n+1{)}^2=\frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (2n+3)}{6}$

Aufgabe: Finde die notwendigen Termumformungen, um die linke in die rechte Seite der zu beweisenden Gleichung zu überführen.

Die notwendigen Termumformungen sind:

$\begin{array}{cc}\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}+(n+1{)}^2& =\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)+6\cdot (n+1{)}^2}{6}\\ [5px]& =\frac{(n+1)\cdot (n\cdot (2n+1)+6\cdot (n+1))}{6}\\ [5px]& =\frac{(n+1)\cdot (2n^2+n+6n+6)}{6}\\ [5px]& =\frac{(n+1)\cdot (2n^2+3n+4n+6)}{6}\\ [5px]& =\frac{(n+1)\cdot (n\cdot (2n+3)+2\cdot (2n+3))}{6}\\ [5px]& =\frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (2n+3)}{6}\\ [5px]\end{array}$

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für $n\in {\mathbb{N}}_{\ge 1}$ bewiesen werden soll:

$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}$

1. Induktionsanfang:

$\sum _{k=1}^1{k}^2=1^2=1=\frac{1\cdot 2\cdot 3}{6}=\frac{1\cdot (1+1)\cdot (2\cdot 1+1)}{6}$

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}$

2b. Induktionsbehauptung:

$\sum _{k=1}^{n+1}{k}^2=\frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (2n+3)}{6}$

2c. Beweis des Induktionsschritts:

$\begin{array}{cc}\sum _{k=1}^{n+1}{k}^2& =\left(\sum _{k=1}^n{k}^2\right)+(n+1{)}^2\\ [5px]& \downarrow \text{ Induktionsvoraussetzung einsetzen }\\ [5px]& =\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}{6}+(n+1{)}^2\\ [5px]& =\frac{n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)+6\cdot (n+1{)}^2}{6}\\ [5px]& =\frac{(n+1)\cdot (n\cdot (2n+1)+6\cdot (n+1))}{6}\\ [5px]& =\frac{(n+1)\cdot (2n^2+n+6n+6)}{6}\\ [5px]& =\frac{(n+1)\cdot (2n^2+3n+4n+6)}{6}\\ [5px]& =\frac{(n+1)\cdot (n\cdot (2n+3)+2\cdot (2n+3))}{6}\\ [5px]& =\frac{(n+1)\cdot (n+2)\cdot (2n+3)}{6}\\ [5px]\end{array}$