Aufgabensammlung Mathematik: Summe über ungerade Zahlen

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Summe über ungerade Zahlen

Beweise, dass für alle gilt:

Lösungsweg

Frage: Wie lautet der Induktionsanfang? Was ist die kleinste sinnvoll einsetzbare natürliche Zahl?

Der Induktionsanfang ist für zu führen. Hierfür lautet die zu beweisende Aussage:

Die linke Seite der Summenformel ergibt:

Die rechte Seite der Formel ergibt:

Damit sind beide Seiten identisch und der Induktionsanfang bewiesen.

Frage: Wie lautet die Induktionsvoraussetzung und wie lautet die Induktionsbehauptung?

Induktionsvoraussetzung:

Induktionsbehauptung:

Frage: Wie lautet die zu beweisende Gleichung, nachdem du die Induktionsvoraussetzung eingesetzt hast?

Ausgehend von der Induktionsbehauptung erhältst du auf der linken Seite:

Damit lautet die zu beweisende Gleichung:

Mit der ersten binomischen Formel hast du die obige Gleichung beweisen.

Beweis

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für bewiesen werden soll:

1. Induktionsanfang:

2. Induktionsschritt:

2a. Induktionsvoraussetzung:

2b. Induktionsbehauptung:

2c. Beweis des Induktionsschritts: