Summe über ungerade Zahlen
Beweise, dass für alle
gilt:
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f0b8f4e7db2031f2ba5a56334cff5e7f693ac72)
Lösungsweg
Frage: Wie lautet der Induktionsanfang? Was ist die kleinste sinnvoll einsetzbare natürliche Zahl?
Der Induktionsanfang ist für
zu führen. Hierfür lautet die zu beweisende Aussage:
![{\displaystyle {\color {Blue}\sum _{k=1}^{1}(2k-1)}={\color {OliveGreen}1^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/450305228dc5f7416bba251d52e8b89e06035215)
Die linke Seite der Summenformel ergibt:
![{\displaystyle {\color {Blue}\sum \limits _{k=1}^{1}(2k-1)}=2\cdot 1-1=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d9c18221ae1efedc1ed42b0a4b3af73631b96a9)
Die rechte Seite der Formel ergibt:
![{\displaystyle {\color {OliveGreen}1^{2}}=1\cdot 1=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a6e057369de5409988e2c0e3111bf216ee6b44e)
Damit sind beide Seiten identisch und der Induktionsanfang bewiesen.
Frage: Wie lautet die Induktionsvoraussetzung und wie lautet die Induktionsbehauptung?
Induktionsvoraussetzung:
![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbd5b6440c6095c8424d31e4bdf539a30a1e909)
Induktionsbehauptung:
![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n+1}(2k-1)=(n+1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4260141de121c688a28fd6b9942c374d91aef6ce)
Frage: Wie lautet die zu beweisende Gleichung, nachdem du die Induktionsvoraussetzung eingesetzt hast?
Ausgehend von der Induktionsbehauptung erhältst du auf der linken Seite:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \limits _{k=1}^{n+1}(2k-1)&=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)\right)+(2(n+1)-1)\\&={\color {Blue}\left(\sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)\right)}+2n+1\\&\qquad \quad {\color {Blue}\downarrow {\text{ Induktionsvoraussetzung einsetzen }}}\\&={\color {Blue}n^{2}}+2n+1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa1f270ded4a502e5dff51153f097283aee483b)
Damit lautet die zu beweisende Gleichung:
![{\displaystyle n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/507801e9edcd85efbf16a523c57db2cceb5d530c)
Mit der ersten binomischen Formel hast du die obige Gleichung beweisen.
Beweis
Aussageform, deren Allgemeingültigkeit für
bewiesen werden soll:
![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbd5b6440c6095c8424d31e4bdf539a30a1e909)
1. Induktionsanfang:
![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{1}2\cdot 1-1=1=1^{2}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98cb2b3852384325a2123dc03bf795267326290)
2. Induktionsschritt:
2a. Induktionsvoraussetzung:
![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fbd5b6440c6095c8424d31e4bdf539a30a1e909)
2b. Induktionsbehauptung:
![{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n+1}(2k-1)=(n+1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4260141de121c688a28fd6b9942c374d91aef6ce)
2c. Beweis des Induktionsschritts:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \limits _{k=1}^{n+1}(2k-1)&=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)\right)+(2(n+1)-1)\\&={\color {Blue}\left(\sum \limits _{k=1}^{n}(2k-1)\right)}+2n+1\\&\qquad \quad {\color {Blue}\downarrow {\text{ Induktionsvoraussetzung einsetzen }}}\\&={\color {Blue}n^{2}}+2n+1\\&=(n+1)^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18e44ae08be54f3a012c9280d7f09d06b5d541f0)