2. Als zusätzliche Herausforderung kannst du versuchen, die folgende, allgemeinere Aussage zu beweisen:
ist für ungerade und durch teilbar.
Beweis zu 1.
Aussageform, deren Allgemeingültigkeit in bewiesen werden soll:
1. Induktionsanfang:
2. Induktionsschritt
2a. Induktionsvoraussetzung:
bzw.
2b. Induktionsbehauptung:
2c. Beweis des Induktionsschluss:
Beweis zu 2.
Lösungshinweis:
Ingredienzien des Beweises sind
1) die wohlvertraute Formel
2)
3) .
Lösung:
1. Induktionsanfang:
Für ist die Aussage korrekt. Mit 1) ist . Da u ungerade ist, müssen die Ausdrücke in den beiden Klammern jeweils gerade sein. D.h. eine der Zahlen und ist durch 4 teilbar und die andere durch 2. Wegen 2) folgt, dass dann durch 8 teilbar ist.
2. Induktionsschritt
2a. Induktionsvoraussetzung:
ist durch teilbar.
2b. Induktionsbehauptung:
ist durch teilbar.
2c. Beweis des Induktionsschluss:
Mit 1) gilt . Der Term in der ersten Klammer ist gerade, d.h. durch 2 teilbar. Dies folgt letztlich aus 3). Der Term in der zweiten Klammer ist laut IV durch teilbar. Demnach muss wegen 2) das Produkt der Klammern durch teilbar sein.