Aufgabensammlung Mathematik: Teilbarkeit durch 2^(k+2)

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Teilbarkeit durch

1. Beweise, dass für durch teilbar ist.

2. Als zusätzliche Herausforderung kannst du versuchen, die folgende, allgemeinere Aussage zu beweisen:

ist für ungerade und durch teilbar.

Beweis zu 1.

Aussageform, deren Allgemeingültigkeit in bewiesen werden soll:

1. Induktionsanfang:

2. Induktionsschritt
2a. Induktionsvoraussetzung:

bzw.

2b. Induktionsbehauptung:

2c. Beweis des Induktionsschluss:

Beweis zu 2.

Lösungshinweis:

Ingredienzien des Beweises sind

1) die wohlvertraute Formel

2)

3) .

Lösung:
1. Induktionsanfang:

Für ist die Aussage korrekt. Mit 1) ist . Da u ungerade ist, müssen die Ausdrücke in den beiden Klammern jeweils gerade sein. D.h. eine der Zahlen und ist durch 4 teilbar und die andere durch 2. Wegen 2) folgt, dass dann durch 8 teilbar ist.

2. Induktionsschritt
2a. Induktionsvoraussetzung:

ist durch teilbar.

2b. Induktionsbehauptung:

ist durch teilbar.

2c. Beweis des Induktionsschluss:

Mit 1) gilt . Der Term in der ersten Klammer ist gerade, d.h. durch 2 teilbar. Dies folgt letztlich aus 3). Der Term in der zweiten Klammer ist laut IV durch teilbar. Demnach muss wegen 2) das Produkt der Klammern durch teilbar sein.