Aufgabensammlung Mathematik: Trennung der Variablen 1

Aufgabe 1

Löse die folgende Aufgabe durch Trennung der Variablen:

$y'x=-y$

Lösung

Wir stellen um:

${\frac {dy}{y}}=-{\frac {dx}{x}}$

Integration und Lösung nach $y$: Zunächst wird die Gleichung Integriert:

$\ln(y)=-\ln(x)+\ln(C)$

Obige Gleichung wird nach $y$ aufgelöst. Das Ergebnis lautet $y={\frac {C}{x}}$.

Aufgabe 2

Löse die folgende Aufgabe durch Trennung der Variablen:

$r^{2}+r'^{2}=1$

Lösung

Umstellung der Differentialgleichung:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&r^{2}+r'^{2}&=1\\\Rightarrow \ &\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}&=1-r^{2}\\\Rightarrow \ &{\frac {dr}{\sqrt {1-r^{2}}}}&=d\varphi \end{array}}\end{aligned}}$

Integration und Lösung von $r$:

${\begin{aligned}{\begin{array}{rrl}&\int {\frac {dr}{\sqrt {1-r^{2}}}}&=\int d\varphi \\\Rightarrow \ &\arcsin(r)&=\varphi +C\\\Rightarrow \ &r&=\sin(\varphi +C)\end{array}}\end{aligned}}$

Das Integral kann dabei im Bronstein nachgeschaut werden.