Aufgabensammlung Physik: Kürzester Weg auf Ebene

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Kürzester Weg auf Ebene

Finde mittels der Variation der Kurve, nach den Prinzipien der Variationsrechnung den kürzesten Weg S zwischen den Punkten A und B auf einer homogenen Ebene.


1. Finde die Funktionenschar

Formuliere den allgemeinen Integranden in eine für das Problem geeignete Form um. Wie würdest Du die Teilstrecke mathemathisch formulieren?

Lösungshinweis 1

Path Segment - Wegabschnitt.svg

Lösung der Aufgabe 1

kann in karthesischen Koordinaten nach dem Satz des Pythagoras wie folgt dargestellt werden:

2. Aufstellen der Eulerschen Gleichung

Stelle nun zunächst das Integral für den Weg auf.

Stelle dann die Eulersche Gleichung auf und löse diese.

Lösung der Aufgabe 2

  1. Die Eulersche Gleichung lautet:
    Dabei ist:
    Damit folgt und somit
  2. Sei . Es folgt
    Wegen ist für bestimmte und damit ist eine Gerade.