Aufgabensammlung Physik: Minimale Rotationsfläche

Kürzester Weg auf Ebene

Berechne die minimale Rotationsfläche zwischen zwei Kreisen mit Radii ${\vec {r}}_{1}$ und ${\vec {r}}_{2}$ und Abstand $y_{2}-y_{1}$.

1. Finde die Funktionenschar

Formuliere den allgemeinen Integranden $ds$ in eine für das Problem geeignete Form um.

Lösungshinweis 1

Lösung der Aufgabe 1

• $ds$ kann in karthesischen Koordinaten nach dem Satz des Pythagoras wie folgt dargestellt werden:

${\begin{aligned}&ds&={\sqrt {dr^{2}+dy^{2}}}\\\Rightarrow \ &{\frac {ds}{dr}}&={\sqrt {1+({\frac {dy}{dr}})^{2}}}\\\Rightarrow \ &ds&={\sqrt {1+y'^{2}}}dr\end{aligned}}$

• Der Umfang eines Kreises ist gegeben durch $|2\pi {\vec {r}}|$
• Damit wird also gesucht:

$min{\stackrel {!}{=}}\int _{r_{1}}^{r_{2}}2\pi r{\sqrt {1+y'^{2}}}dr$

2. Aufstellen der Eulerschen Gleichung

Stelle die Eulersche Gleichung auf und löse diese.

Lösung der Aufgabe 2

• $min{\stackrel {!}{=}}2\pi \int _{r_{1}}^{r_{2}}r{\sqrt {1+y'^{2}}}dr$
• Die Eulersche Gleichung lautet:

  ${\frac {\partial f}{\partial y}}-{\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial y'}}=0$

  Dabei ist:

  ${\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial y}}&=0\\{\frac {\partial f}{\partial y'}}&={\frac {ry'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}=c(onst.)\end{aligned}}$

  Weiter ist dann:

  ${\begin{aligned}c^{2}={\frac {r^{2}y'^{2}}{1+y'^{2}}}\\=c^{2}+c^{2}y'^{2}=r^{2}y'^{2}\\=c^{2}=y'^{2}(r^{2}-c^{2})\\\Rightarrow c=y'{\sqrt {r^{2}-c^{2}}}\\\Rightarrow y'={\frac {c}{\sqrt {r^{2}-c^{2}}}}\\\Rightarrow y=c\int {\frac {1}{\sqrt {r^{2}-c^{2}}}}dr{\stackrel {Integrationstabelle}{=}}c\cdot arcosh\left({\frac {r}{c}}\right)\end{aligned}}$