Aufgabensammlung Physik: Teilchen auf schiefer Ebene

Teilchen auf schiefer Ebene

Ein Teilchen ist an eine schiefe Ebene mit dem Neigungswinkel $\alpha$ gebunden. Formuliere die Zwangsbedingung in zwei Dimensionen.

Lösung der Aufgabe

Betrachte folgende Skizze für die schiefe Ebene (die z-Achse verläuft senkrecht zur Skizzenebene):

Frage: Welcher Zusammenhang gilt zwischen $x$, $y$ und $\alpha$?

Der Tangens ist Gegenkathete durch Ankathete und damit

$\tan (\alpha )=\frac{y}{x}$

für alle Punkte $(x,y,z)$ mit $x\ne 0$.

Frage: Wie lautet die Zwangsbedingung?

Die Zwangsbedingung lautet für alle Punkte mit $x\ne 0$:

$\begin{array}{c}\begin{array}{ccc}& \frac{y}{x}& =\tan (\alpha )\\ \Rightarrow & y& =\tan (\alpha )\cdot x\\ \Rightarrow & y-\tan (\alpha )\cdot x& =0\end{array}\end{array}$

Die letzte Gleichung $y-\tan (\alpha )\cdot x=0$ bestimmt die schiefe Ebene auch in den Punkten mit $x=0$ (aus dieser Gleichung folgt aus $x=0$ die gewünschte Bedingung $y=0$). Damit lautet die Zwangsbedinung insgesamt

$y-\tan (\alpha )\cdot x=0$

Es handelt sich um eine holonome Zwangsbedingung.