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Die Extensionalität von Mengen

Die Extensionalität von Mengen (Video vom Podcast The Wicked Mu)

Im obigen Abschnitt haben wir darauf hingewiesen, dass sich die Identität einer Menge allein dadurch manifestiert, welche Objekte sie enthält. Zwei Mengen sind nämlich genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente besitzen. Diese beiden Mengen sind dann ein- und dasselbe Objekt. So gibt es beispielsweise nur eine Menge, welche genau die Zahlen $1$ und $2$ enthält. Mehrere Mengen mit denselben Elementen kann es nicht geben. Wenn es auch nur ein Objekt gibt, welches Element der einen Menge, aber nicht der anderen ist, dann sind beide Mengen verschieden.

Diese Eigenschaft von Mengen wird Extensionalitätsprinzip oder auch Extensionalitätsaxiom genannt. Sie lässt sich wie folgt formalisieren:

Definition (Extensionalitätsprinzip)

Für zwei beliebige Mengen $A$ und $B$ gilt:
$A=B:\Leftrightarrow \forall x(x\in A\Leftrightarrow x\in B)$

Übersetzt bedeutet obige Formel:

${\begin{array}{c}\underbrace {A=B} _{A{\text{ ist identisch zu }}B}\\[2em]\underbrace {:\Leftrightarrow } _{\text{ genau dann, wenn }}\\[2em]\underbrace {\forall x(x\in A\Leftrightarrow x\in B)} _{{\text{für alle }}x{\text{ gilt: }}x{\text{ ist genau dann Element von }}A{\text{, wenn es Element von }}B{\text{ ist und umgekehrt.}}}\end{array}}$

To-Do:

Für Cantor war die Extensionalität sehr wohl in seiner Definition enthalten! Diese beiden Sätze sollten gestrichen werden.

Dies ist keine Eigenschaft von Mengen, die bereits aus der obigen Definition hervorgeht. Obige Aussageform konkretisiert vielmehr unseren Mengenbegriff und wir müssen es der obigen Definition als Axiom hinzufügen.

Würden wir Mengen, die über unterschiedliche Eigenschaften definiert sind, als unterschiedlich betrachten (eine solche Mengenlehre wäre intensional), wäre sie für die Mathematik nicht brauchbar! Wie aber aus dem obigen Extensionalitätsprinzip hervorgeht, ist es für die Identität einer Menge egal, wie sie gebildet wurde. Es ist nur wichtig zu wissen, welche Elemente sie umfasst.

Beispiel

In unserer (extensionalen) Mengenlehre ist die Menge aller Lösungen der Gleichung $x^{2}=1$ identisch mit der Menge aller Lösungen der Gleichung $|x|=1$. Dies ist die Menge bestehend aus den Zahlen $1$ und $-1$. In einer intensionalen Mengenlehre wäre dies nicht zwangsläufig der Fall, da beide Mengen durch unterschiedliche Eigenschaften definiert sind.

Eigenschaften der Schnittmenge

Satz (Eigenschaften der Schnittmenge)

1. $A\cap B=B\cap A$ (Kommutativgesetz)
2. $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ (Assoziativgesetz)
3. $A\cap A=A$ (Idempotenz)
4. $A\cap \varnothing =\varnothing$
5. $A\cap B\subseteq A$ und $A\cap B\subseteq B$

Dieses Eigenschaften lassen sich leicht auf die Definition und die entsprechenden Gesetze der Logik zurückführen.

Beweis (Eigenschaften der Schnittmenge)

${\begin{aligned}{\mathsf {1.}}\quad A\cap B&=\{x\,|\,x\in A\,\land \,x\in B\}&&{\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\\&=\{x\,|\,x\in B\,\land \,x\in A\}&&{\mathsf {Kommutativit{\ddot {a}}t\;von\;\land }}\\&=A\cap B&&{\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\mathsf {2.}}\quad (A\cap B)\cap C&=\{x\,|\,x\in \{y\,|\,y\in A\,\land \,y\in B\}\land x\in C\}&&{\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\\&=\{x\,|\,(x\in A\,\land \,x\in B)\land x\in C\}&&{\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;}}x\in \{y\,|\,y\in A\,\land \,y\in B\}\\&=\{x\,|\,x\in A\,\land \,(x\in B\land x\in C)\}&&{\mathsf {Assoziativit{\ddot {a}}t\;von\;\land }}\\&=\{x\,|\,x\in A\,\land \,x\in \{y\,|\,y\in B\land y\in C\}\}&&{\mathsf {Abstraktionsprinzip\;f{\ddot {u}}r\;}}x\in \{y\,|\,y\in B\,\land \,y\in C\}\\&=A\cap (B\cap C)&&{\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\mathsf {3.}}\quad A\cap A&=\{x\,|\,x\in A\land x\in A\}&&{\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\\&=\{x\,|\,x\in A\}&&{\mathsf {Idempotenz\;von\;\land }}\\&=A&&{\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\mathsf {4.}}\quad A\cap \varnothing &=\{x\,|\,x\in A\land x\in \varnothing \}&&{\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\\&=\{x\,|\,x\in A\land x\neq x\}&&{\mathsf {Definition\;von\;\varnothing }}\\&=\{x\,|\,x\neq x\}&&{\mathsf {Eigenschaft\;von\;\land }}\\&=\varnothing &&{\mathsf {Definition\;von\;\cap }}\end{aligned}}$

Quantoren

• ${\overset {1}{\exists }}x:A(x)$
• $\exists _{=n}x:A(x)$