Benutzer:Petflo2000/Spielwiese

Halbwinkelformel

Aus Additionstheoreme (Kosinus)

Formel (15.2):  $\cos {2\alpha }=1-2{\sin }^{2}{\alpha }$

wenn:   $\alpha ={\frac {\varphi }{2}}$

(14)  $\cos {\varphi }=1-2{\sin }^{2}{\frac {\varphi }{2}}$

aufgelöst nach:   ${\sin }^{2}{\frac {\varphi }{2}}$

(15.1)   $\{sin}^{2}{\frac {\varphi }{2}}={\frac {1-\cos {\varphi }}{2}$}

oder

(15.2)   $\sin {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \varphi }{2}}}$

Halbwinkelformel

Aus Formel (14.2):  $\cos 2\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1$

wenn:   $\alpha ={\frac {\varphi }{2}}$

(16)  $\cos {\varphi }=2\cos ^{2}{\frac {\varphi }{2}}-1$

aufgelöst nach:   ${\cos }^{2}{\frac {\varphi }{2}}$

(17.1)  ${\cos }^{2}{\frac {\varphi }{2}}={\frac {1+\cos \varphi }{2}}$

oder

(17.1)  $\cos {\frac {\varphi }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \varphi }{2}}}$

Tangentenviereck

Ein Trapez ist dann ein Tangentenviereck wenn:

1.  $AE+CF=AF+CE$

2.  $BE+BF=DE+DF$

Beweis am rechten Tangentenviereck. Für das linke Tangentenviereck man die spiegelbildlichen Bezeichnungen einzusetzen.

Beweis zu 1.:

(1.1)   $AE=e+f+s$

(1.2)   $CF=v$

(1.3)   $AF=e+h+u$

(1.4)   $CE=t$

$AE+CF=AF+CE$     (1.1) bis (1.4) eingesetzt

(2.1)   $e+f+s+v=e+h+u+t$

(2.2)   $f+s+v=h+u+t$

(3.1)   $f+s=t+g$    und  (3.2)  $h+u=v+g$    siehe Kreistangente

(3.1) bis (3.2) in (2.2) eingesetzt

(2.3)   $t+g+v=v+t+g$

also ist   $AE+CF=AF+CE$

Beweis zu 2.:

(1.1)   $BE=s$

(1.2)   $BF=f+g+v$

(1.3)   $DE=h+g+t$

(1.4)   $DF=u$

$BE+BF=DE+DF$     (1.1) bis (1.4) eingesetzt

(2.1)   $s+f+g+v=h+g+t+u$

(2.2)   $s+f+v=h+t+u$

(3.1)   $f+s=t+g$    und  (3.2)  $h+u=v+g$    siehe Kreistangente

(3.1) bis (3.2) in (2.2) eingesetzt

(2.3)   $t+g+v=v+g+t$

also ist   $BE+BF=DE+DF$

Wikipedia-Verweis

Tangentenviereck