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Beweisarchiv: Geometrie: Trigonometrie: Additionstheoreme: Kosinus

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Beweisarchiv: Geometrie

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Additionstheoreme (Kosinus)

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Beweis für:

Im rechtwinkligen Dreieck ist

(1)  

Im rechtwinkligen Dreieck ist

(2)  

und

(3)  

Im rechtwinkligen Dreieck ist

(4.1) 

(2) eingesetzt

(4.2) 

(4.3) 


Zwischenbeweis:

Die Dreiecke und sind beide rechtwinklig
und deshalb sind Scheitelwinkel und daher ist auch

(5.0) 


Im rechtwinkligen Dreieck gilt:

(5.1) 

(3) eingesetzt

(5.2) 

(5.3) 

(6.1) 

(4.3) und (5.3) eingesetzt

(6.2) 

in (1) eingesetzt

(7) 


Wenn Winkel negativ:

(8)  

(9a) 

und

(9b) 

eingesetzt in (8)

(10) 

(7) und (10) zusammengefasst

(11) 


Daraus ergibt sich auch für den doppelten Winkel

bei

(12) 

(13) 

oder weil

(14.1) 

(14.2) 

oder

(15.1) 

(15.2) 


Halbwinkelformel

Aus Formel (14.2): 

wenn:  

(16)  

aufgelöst nach:  

(17.1)  

oder

(17.2)  

Additionstheoreme (Kosinus)

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Beweis für:

Für den Beweis werden die Beziehungen

verwendet.

Es gilt:

Die Umformung zur vorletzten Zeile ist möglich, da entweder oder auftritt.


Wikipedia-Verweise

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Additionstheoreme