Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Satz des Thales

Aus Wikibooks
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Beweisarchiv: Geometrie

Schwerpunktsätze von Leibniz
Planimetrie
Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte
Inzidenzgeometrie ·
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens
Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie


Satz des Thales[Bearbeiten]

Thales.png

Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck rechtwinklig ist, wenn auf einem Halbkreis über liegt.

Beweis 1[Bearbeiten]

Da sind und gleichschenklige Dreiecke. Weil die beiden Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, gilt:

(1) 

und

(2) 


Da alle Winkel in einem Dreieck addiert ergeben, gilt für das Dreieck :

(3) 


Setzt man nun  (1)  und  (2)  ein, erhält man:

(3.1) 
(3.2) 
(3.3) 
(3.4) 
(3.5) 


Damit ist der Satz des Thales bewiesen, denn das Dreieck enthält immer den rechten Winkel bei und ist somit immer rechtwinklig.

Siehe auch weiter oben den Sonderfall von Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel


Beweis 2[Bearbeiten]

Man lege ein kartesisches Koordinatensystem so fest, dass der Mittelpunkt des Kreises im Koordinatenursprung liegt und sich auf der x-Achse befindet. Nun ist

und

Außerdem ist

wobei der Winkel beliebig ist. Die Vektoren und sind genau dann rechtwinklig, wenn ist.

Es ergibt sich nun:

wobei

ausgenutzt wurde.

q.e.d.



Beweisarchiv: Geometrie

Schwerpunktsätze von Leibniz
Planimetrie
Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Ellipse: Satz vom Flüstergewölbe · Konjugierte Durchmesser
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte
Inzidenzgeometrie ·
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens
Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie