Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Satz des Thales

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Beweisarchiv: Geometrie

Planimetrie
Kreis: Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel · Satz des Ptolemäus · Sehnensatz · Sehnentangentenwinkel · Sehnenviereck · Sekantensatz · Japanischer Satz für konzyklische Vierecke · Satz des Thales
Rechtwinkliges Dreieck: Satz des Pythagoras
Regelmäßige Vielecke: Dreieck · Viereck · Fünfeck · Sechseck ·
Dreieck: Satz des Heron
Inzidenzgeometrie · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader
affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume
Trigonometrie
Additionstheoreme: Sinus · Kosinus · Tangens · Kotangens
Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz


Satz des Thales[Bearbeiten]

Thales.png

Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck rechtwinklig ist, wenn auf einem Halbkreis über liegt.


Da sind und gleichschenklige Dreiecke. Weil die beiden Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, gilt:

(1) 

und

(2) 


Da alle Winkel in einem Dreieck addiert ergeben, gilt für das Dreieck :

(3) 


Setzt man nun  (1)  und  (2)  ein, erhält man:

(3.1) 
(3.2) 
(3.3) 
(3.4) 
(3.5) 


Damit ist der Satz des Thales bewiesen, denn das Dreieck enthält immer den rechten Winkel bei und ist somit immer rechtwinklig.

Siehe auch weiter oben den Sonderfall von Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel



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