Beweisarchiv: Geometrie: Inzidenzgeometrie: affine Geometrie: Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume

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Beweisarchiv: Geometrie

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Im Folgenden sei eine ebene Inzidenzstruktur, d.h. zunächst einmal sind und Mengen und eine Inzidenzrelation. Die Elemente von heißen Punkte, die von heißen Geraden. Statt sage wir auch „ liegt auf “ oder „ geht durch “. Sing verschiedene Geraden und liegt der Punkt sowohl auf als auch auf , so sagen wir „ und schneiden sich (in )“ und heißt Schnittpunkt von und . Zwei Geraden , die sich nicht schneiden, heißen parallel, in Zeichen . Insbesondere ist jede Gerade zu sich selbst parallel.

Ferner soll eine affine Ebene sein, d.h.

  • Zu mit gibt es genau eine Gerade mit und .
  • Zu und gibt es genau eine Gerade mit und .
  • Es gibt drei Punkte, die nicht sämtlich auf einer Geraden liegen.

Schließlich soll in der Satz von Desargues (hier jedoch als Axiom verwendet) gelten:

  • ...

Aussage des Satzes[Bearbeiten]

Ist ein Schiefkörper, so kann man als affine Ebene auffassen. Genauer wählt man als Punktraum, als Geradenraum und setzt .

Dann gilt der

Satz

Jede desarguessche affine Ebene ist zu einem isomorph.

Vorbemerkungen[Bearbeiten]

Wir benötigen vorab zwei einfache Grundtatsachen über affine Ebenen:

Hilfssatz

Schneiden sich zwei Geraden, so ist der Schnittpunkt eindeutig bestimmt.

Beweis

Sich schneidende Geraden sind insbesondere verschieden. Gäbe es zwei Schnittpunkte, so müsste jede der beiden Geraden die eindeutige Verbindungsgerade dieser Punkte sein.

Hilfssatz

Parallelität ist eine Äquivalenzrelation.

Beweis

Nach Definition ist Parallelität gewiss reflexiv und symmetrisch. Für die Transitivität beachte man: Sind Geraden mit und , aber , so schneiden und sich in einem Punkt . Dann muss sowohl als auch die eindeutig bestimmt Parallele zu durch sein im Widerspruch zur Annahme. Also ist Parallelität auch transitiv.

Beweis[Bearbeiten]

Sei also eine desarguessche affine Ebene.

Zunächst gibt es auch Definition drei nicht kollineare Punkte . Sei die Gerade durch und und die Gerade durch und .

Ist jetzt ein beliebiger Punkt, so gibt es eine eindeutig bestimmte Parallele zu durch , die in einem Punkt schneidet, da nicht auch parallel zu sein kann. Ebenso findet man einen Punkt .

Hat man umgekehrt Punkte und , so sind die Parallele zu durch und die durch nicht zueinander parallel, schneiden sich also in einem Punkt .

Die beiden Zuordnnungen sind offenbar zueinander invers, so dass man auf diese Weise eine Bijektion

erhält. Definieren wir zu die Menge der mit inzidenten Punkte, schreibt sich dies kürzer als

Für den Beweis des Satzes ist noch zu zeigen:

  • Die Menge (bzw. ) bildet einen Schiefkörper (bzw. .
  • Diese Schiefkörper sind zueinander isomorph .
  • Ist , so bildet unter obiger Bijektion einen eindimensionalen affinen Unterraum von .
  • Umgekehrt entspricht jeder eindimensionale affine Unterraum einer Geraden.

Affine Bewegungen[Bearbeiten]

Eine affine Abbildung ist eine Abbildung sowie eine (ebenfalls mit bezeichnete) Abbildung mit für alle , mit . Gibt es eine beidseitige affine Umkehrabbildung, so heißt eine affine Bewegung. Aus allgemeinen Gründen bilden die affinen Bewegungen eine Gruppe .

Wir betrachten im Folgenden zu einer gegebenen Geraden eine spezielle Untergruppe , nämlich diejenigen Bewegungen mit für alle mit .

Addititon auf einer Geraden[Bearbeiten]

Sei eine Gerade und ein Punkt mit .

Betrachte die Untergruppe derjenigen Bewegungen mit für alle Geraden .

Ist so ist bereits durch die Angabe von eindeutig bestimmt. Ist nämlich ein beliebiger Punkt, der nicht auf liegt, so lässt die Parallele zu durch fest und bildet die Gerade durch und in die Parallele hierzu durch ab. Es folgt, dass auf den Schnittpunkt dieser beiden Geraden abgebildet wird. Damit ist aber auf bereits festgelegt: Parallele zu bleiben fix, andere Geraden gehen durch einen Punkt außerhalb und werden auf die Parallele durch dessen Bildpunkt abgebildet. Dann ist schließlich aber auch für festgelegt als Schnittpunkt von mit für eine weitere durch gehende Gerade .

Wir erhalten somit eine injektive Abbildung .

Umgekehrt können wir jedem eine Bewegung mit zuordnen:

  1. Für einen Punkt , der nicht auf liegt sei der Schnittpunkt der Parallelen zu durch und der Parallelen durch zu der Geraden durch und .
  2. Für zu parallele Geraden setze .
  3. Für andere Geraden wähle einen Punkt , der nicht auf liegt und definiere als die Parallele zu durch
  4. Für wähle eine von verschiedene Gerade durch und definiere als den Schnittpunkt von und .

Falls dies tatsächlich ein Element von definiert, ist klar, dass diese Zuordnung invers zu der oben gefundenen Abbildung ist. Zunächst ist jedoch zu zeigen, dass die Abbildung wohldefiniert ist und nicht von den bei 3. und 4. getroffenen Wahlen abhängt.

Sei also eine nicht zu parallele Gerade und seien zwei auf ihr liegende Punkte. Seien und . Dann sind die Dreiecke und (uneigentlich) zentralperspektiv, da die entsprechenden Geraden paralel zu sind. Folglich sind sie auch achsperspektiv. Da und gilt, folgt . Somit ist in der Tat von de Wahl des Hilfspunktes unabhängig.

Sei jetzt und seien zwei Geraden, die in schneiden. Wir wählen Punkte und , die nicht auf liegen und setzen wiederum und . Nach Konstruktion sind und (uneigentlich) zentralperspektiv, also auch achsperspektiv. Insbesondere ist . Ferner ist parallel zu und parallel zu </math>\phi(pq_2)</math>. Somit schneiden sich und in einem Punkt . Dann sind und achsperspektiv und somit auch zentralperspektiv. Da jedoch und parallel sind (nämlich beide parallel zu ), ist auch , wegen also . Somit ist unabhängig von der Wahl er Hilfsgeraden.

Zusammengefasst ergibt sich eine Bijektion , über die wir mit einer Gruppenstruktur versehen. Offenbar ist hierbei das neutrale Element.

Wir zeigen noch: ist abelsch.

Multiplikation auf einer Geraden[Bearbeiten]

Wir betrachten eine Gerade mit zwei verschiedenen auf ihr liegenden Punkten . Ferner sei eine Geradem, die in schneidet. Dann betrachten die Untergruppe derjenigen Abbildungen, die fest lassen.

Ist , so ist die Abbildung bereits durch festgelegt. Zunächst bildet nämlich und alle zu parallelen Geraden auf sich ab. Liegt ein Punkt auf , so zusätzlich auch auf einer Parallelen zu . Da diese beiden Geraden fix bleiben, gilt auch . Sei ein Punkt, der nicht auf liegt. Schneidet die Verbindungsgerade die Gerade in einem Punkt , so muss der Schnittpunkt von und der Parallelen zu durch sein. Ansonsten ist und wird auf die Parallele durch abgebildet. Dann ist der Schnittpunkt hiervon mit der Parallelen zu durch . Ist jetzt , so gibt es einen Punkt , der nicht auf liegt. Dann muss die Parallele zu durch sein. Sei jetzt eine sonstige Gerade, die also weder zu noch zu parallel. Sei der Schnittpunkt von mit und der Schnittpunkt von mit der Parallelen zu durch . Dann ist und bereits festgelegt, weil entweder oder gilt. Dann muss die Verbidungsgerade sein. Sei schließlich ein auf liegender Punkt und eine weitere durch verlaufende Gerade. Dann ist der Schnittpunkt von und .

Da gewiss gilt, erhalten wir eine injektive Abbildung .

Ist umgekehrt ein von veschiedener Punkt auf , so erhalten wir wie folgt eine Abbildung : Sei die Parallle zu durch und die durch .

  1. Setze , .
  2. Für setze .
  3. Für setze .
  4. Für definiere als den Schnittpunkt von mit der Parallelen zu durch .
  5. Ist nicht parallel zu , so sei der Schnittpunkt mit und der Schnittpunkt mit . Definiere als die Verbindungsgerade von und .
  6. Liegt nicht auf , so wähle einen Punkt auf , der nicht auf der Parallelen zu durch liegt. Definiere als den Schnittpunkt von und der Parallelen zu durch .
  7. Liegt auf keiner der Geraden , so schneidet die Gerade in einem Punkt . Dann definiere als den Schnittpunkt von mit der Parallelen zu durch .
  8. Ist parallel zu , aber noch , so wähle einen Punkt , der nicht auf liegt. Dann ist bereits definiert. Definiere als die Parallele zu durch .
  9. Ist weder zu noch zu paralel, so

entweder parallel zu